Integral de (5x-2)^20 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 x - 2$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{u^{20}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{20}\, du = \frac{\int u^{20}\, du}{5}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{20}\, du = \frac{u^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{21}}{105}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(5 x - 2\right)^{21}}{105}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(5 x - 2\right)^{20} = 95367431640625 x^{20} - 762939453125000 x^{19} + 2899169921875000 x^{18} - 6958007812500000 x^{17} + 11828613281250000 x^{16} - 15140625000000000 x^{15} + 15140625000000000 x^{14} - 12112500000000000 x^{13} + 7873125000000000 x^{12} - 4199000000000000 x^{11} + 1847560000000000 x^{10} - 671840000000000 x^{9} + 201552000000000 x^{8} - 49612800000000 x^{7} + 9922560000000 x^{6} - 1587609600000 x^{5} + 198451200000 x^{4} - 18677760000 x^{3} + 1245184000 x^{2} - 52428800 x + 1048576$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 95367431640625 x^{20}\, dx = 95367431640625 \int x^{20}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{20}\, dx = \frac{x^{21}}{21}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{95367431640625 x^{21}}{21}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 762939453125000 x^{19}\right)\, dx = - 762939453125000 \int x^{19}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{19}\, dx = \frac{x^{20}}{20}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 38146972656250 x^{20}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2899169921875000 x^{18}\, dx = 2899169921875000 \int x^{18}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{18}\, dx = \frac{x^{19}}{19}$

         Por lo tanto, el resultado es: $152587890625000 x^{19}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6958007812500000 x^{17}\right)\, dx = - 6958007812500000 \int x^{17}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{17}\, dx = \frac{x^{18}}{18}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1159667968750000 x^{18}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 11828613281250000 x^{16}\, dx = 11828613281250000 \int x^{16}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{16}\, dx = \frac{x^{17}}{17}$

         Por lo tanto, el resultado es: $695800781250000 x^{17}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 15140625000000000 x^{15}\right)\, dx = - 15140625000000000 \int x^{15}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{15}\, dx = \frac{x^{16}}{16}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 946289062500000 x^{16}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 15140625000000000 x^{14}\, dx = 15140625000000000 \int x^{14}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{14}\, dx = \frac{x^{15}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $1009375000000000 x^{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 12112500000000000 x^{13}\right)\, dx = - 12112500000000000 \int x^{13}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{13}\, dx = \frac{x^{14}}{14}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6056250000000000 x^{14}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 7873125000000000 x^{12}\, dx = 7873125000000000 \int x^{12}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{12}\, dx = \frac{x^{13}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $605625000000000 x^{13}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 4199000000000000 x^{11}\right)\, dx = - 4199000000000000 \int x^{11}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{11}\, dx = \frac{x^{12}}{12}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1049750000000000 x^{12}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1847560000000000 x^{10}\, dx = 1847560000000000 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $167960000000000 x^{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 671840000000000 x^{9}\right)\, dx = - 671840000000000 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 67184000000000 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 201552000000000 x^{8}\, dx = 201552000000000 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{67184000000000 x^{9}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 49612800000000 x^{7}\right)\, dx = - 49612800000000 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6201600000000 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9922560000000 x^{6}\, dx = 9922560000000 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9922560000000 x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1587609600000 x^{5}\right)\, dx = - 1587609600000 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 264601600000 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 198451200000 x^{4}\, dx = 198451200000 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $39690240000 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 18677760000 x^{3}\right)\, dx = - 18677760000 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 4669440000 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1245184000 x^{2}\, dx = 1245184000 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1245184000 x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 52428800 x\right)\, dx = - 52428800 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 26214400 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1048576\, dx = 1048576 x$

      El resultado es: $\frac{95367431640625 x^{21}}{21} - 38146972656250 x^{20} + 152587890625000 x^{19} - \frac{1159667968750000 x^{18}}{3} + 695800781250000 x^{17} - 946289062500000 x^{16} + 1009375000000000 x^{15} - \frac{6056250000000000 x^{14}}{7} + 605625000000000 x^{13} - \frac{1049750000000000 x^{12}}{3} + 167960000000000 x^{11} - 67184000000000 x^{10} + \frac{67184000000000 x^{9}}{3} - 6201600000000 x^{8} + \frac{9922560000000 x^{7}}{7} - 264601600000 x^{6} + 39690240000 x^{5} - 4669440000 x^{4} + \frac{1245184000 x^{3}}{3} - 26214400 x^{2} + 1048576 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(5 x - 2\right)^{21}}{105}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(5 x - 2\right)^{21}}{105}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(5 x - 2\right)^{21}}{105}+ \mathrm{constant}$