Integral de (3x+5)/(x^2+2x+2)^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x + 5}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2\right)^{2}} = \frac{3 x + 5}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}$

   2. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x + 5}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} = \frac{3 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{5}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}$

   3. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\, dx = 3 \int \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $- \frac{x + 2}{2 x^{2} + 4 x + 4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \left(x + 2\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\, dx = 5 \int \frac{1}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\frac{x + 1}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \left(x + 1\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{5 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}$

      El resultado es: $\frac{5 \left(x + 1\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} - \frac{3 \left(x + 2\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x + 5}{\left(\left(x^{2} + 2 x\right) + 2\right)^{2}} = \frac{3 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4} + \frac{5}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\, dx = 3 \int \frac{x}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $- \frac{x + 2}{2 x^{2} + 4 x + 4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \left(x + 2\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{5}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\, dx = 5 \int \frac{1}{x^{4} + 4 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x + 4}\, dx$

         1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

            Pero la integral

            $\frac{x + 1}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 \left(x + 1\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \frac{5 \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}}{2}$

      El resultado es: $\frac{5 \left(x + 1\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} - \frac{3 \left(x + 2\right)}{2 x^{2} + 4 x + 4} + \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x + \left(x^{2} + 2 x + 2\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{2}}{x^{2} + 2 x + 2}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x + \left(x^{2} + 2 x + 2\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{2}}{x^{2} + 2 x + 2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x + \left(x^{2} + 2 x + 2\right) \operatorname{atan}{\left(x + 1 \right)} - \frac{1}{2}}{x^{2} + 2 x + 2}+ \mathrm{constant}$