Integral de (x^2)/(4x^3+9)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{\left(4 x^{3} + 9\right)^{4}} = \frac{x^{2}}{256 x^{12} + 2304 x^{9} + 7776 x^{6} + 11664 x^{3} + 6561}$

   2. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{768 u^{4} + 6912 u^{3} + 23328 u^{2} + 34992 u + 19683}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{768 u^{4} + 6912 u^{3} + 23328 u^{2} + 34992 u + 19683} = \frac{1}{3 \left(4 u + 9\right)^{4}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{3 \left(4 u + 9\right)^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(4 u + 9\right)^{4}}\, du}{3}$

         1. que $u = 4 u + 9$.

            Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{4 u^{4}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{4}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{12 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{12 \left(4 u + 9\right)^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{36 \left(4 u + 9\right)^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{36 \left(4 x^{3} + 9\right)^{3}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x^{2}}{\left(4 x^{3} + 9\right)^{4}} = \frac{x^{2}}{256 x^{12} + 2304 x^{9} + 7776 x^{6} + 11664 x^{3} + 6561}$

   2. que $u = x^{3}$.

      Luego que $du = 3 x^{2} dx$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{1}{768 u^{4} + 6912 u^{3} + 23328 u^{2} + 34992 u + 19683}\, du$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{768 u^{4} + 6912 u^{3} + 23328 u^{2} + 34992 u + 19683} = \frac{1}{3 \left(4 u + 9\right)^{4}}$

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{3 \left(4 u + 9\right)^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(4 u + 9\right)^{4}}\, du}{3}$

         1. que $u = 4 u + 9$.

            Luego que $du = 4 du$ y ponemos $\frac{du}{4}$:

            $\int \frac{1}{4 u^{4}}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{4}}\, du}{4}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{4}}\, du = - \frac{1}{3 u^{3}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{12 u^{3}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{1}{12 \left(4 u + 9\right)^{3}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{36 \left(4 u + 9\right)^{3}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{36 \left(4 x^{3} + 9\right)^{3}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{1}{36 \left(4 x^{3} + 9\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{1}{36 \left(4 x^{3} + 9\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$