Integral de (2x+3)(4x+5)^3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 2 x$.

      Luego que $du = 2 dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(4 u^{4} + 42 u^{3} + 165 u^{2} + \frac{575 u}{2} + \frac{375}{2}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 4 u^{4}\, du = 4 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 42 u^{3}\, du = 42 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{21 u^{4}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 165 u^{2}\, du = 165 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $55 u^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{575 u}{2}\, du = \frac{575 \int u\, du}{2}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{575 u^{2}}{4}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{375}{2}\, du = \frac{375 u}{2}$

         El resultado es: $\frac{4 u^{5}}{5} + \frac{21 u^{4}}{2} + 55 u^{3} + \frac{575 u^{2}}{4} + \frac{375 u}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{128 x^{5}}{5} + 168 x^{4} + 440 x^{3} + 575 x^{2} + 375 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(2 x + 3\right) \left(4 x + 5\right)^{3} = 128 x^{4} + 672 x^{3} + 1320 x^{2} + 1150 x + 375$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 128 x^{4}\, dx = 128 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{128 x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 672 x^{3}\, dx = 672 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $168 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1320 x^{2}\, dx = 1320 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $440 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1150 x\, dx = 1150 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $575 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 375\, dx = 375 x$

      El resultado es: $\frac{128 x^{5}}{5} + 168 x^{4} + 440 x^{3} + 575 x^{2} + 375 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x \left(128 x^{4} + 840 x^{3} + 2200 x^{2} + 2875 x + 1875\right)}{5}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x \left(128 x^{4} + 840 x^{3} + 2200 x^{2} + 2875 x + 1875\right)}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x \left(128 x^{4} + 840 x^{3} + 2200 x^{2} + 2875 x + 1875\right)}{5}+ \mathrm{constant}$