Integral de x^2-x+1/(x^2+x+1)^2 dx

1. Integramos término a término:

   1. Integramos término a término:

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

      El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2}$

   1. No puedo encontrar los pasos en la búsqueda de esta integral.

      Pero la integral

      $\frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3} + \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}$

   El resultado es: $\frac{x^{3}}{3} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{2 x + 1}{3 x^{2} + 3 x + 3} + \frac{4 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} x}{3} + \frac{\sqrt{3}}{3} \right)}}{9}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{12 x + \left(x^{2} + x + 1\right) \left(6 x^{3} - 9 x^{2} + 8 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 x + 1\right)}{3} \right)}\right) + 6}{18 \left(x^{2} + x + 1\right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{12 x + \left(x^{2} + x + 1\right) \left(6 x^{3} - 9 x^{2} + 8 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 x + 1\right)}{3} \right)}\right) + 6}{18 \left(x^{2} + x + 1\right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{12 x + \left(x^{2} + x + 1\right) \left(6 x^{3} - 9 x^{2} + 8 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{3} \left(2 x + 1\right)}{3} \right)}\right) + 6}{18 \left(x^{2} + x + 1\right)}+ \mathrm{constant}$