Integral de 2*x/e^(4*x+5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x}{e^{4 x + 5}} = \frac{2 x e^{- 4 x}}{e^{5}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x e^{- 4 x}}{e^{5}}\, dx = \frac{2 \int x e^{- 4 x}\, dx}{e^{5}}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 4 x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - 4 x$.

            Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{- 4 x}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 4 x}\, dx}{4}$

         1. que $u = - 4 x$.

            Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 4 x}}{16}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}\right)}{e^{5}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 x}{e^{4 x + 5}} = \frac{2 x e^{- 4 x}}{e^{5}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{2 x e^{- 4 x}}{e^{5}}\, dx = \frac{2 \int x e^{- 4 x}\, dx}{e^{5}}$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = x$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = e^{- 4 x}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. que $u = - 4 x$.

            Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{e^{- 4 x}}{4}\right)\, dx = - \frac{\int e^{- 4 x}\, dx}{4}$

         1. que $u = - 4 x$.

            Luego que $du = - 4 dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

            $\int \left(- \frac{e^{u}}{4}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\text{False}$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{e^{- 4 x}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{e^{- 4 x}}{16}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \left(- \frac{x e^{- 4 x}}{4} - \frac{e^{- 4 x}}{16}\right)}{e^{5}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\left(4 x + 1\right) e^{- 4 x - 5}}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\left(4 x + 1\right) e^{- 4 x - 5}}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\left(4 x + 1\right) e^{- 4 x - 5}}{8}+ \mathrm{constant}$