Integral de 1/((x+3)^(3/2)*x^0.5) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\sqrt{x} \left(x + 3\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x + 3} + 3 \sqrt{x} \sqrt{x + 3}}$

   2. que $u = \sqrt{x + 3}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 3}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{\left(u^{2} - 3\right)^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{u^{2} - 3}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\left(u^{2} - 3\right)^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{u^{2} - 3}}\, du = 2 \int \frac{1}{\left(u^{2} - 3\right)^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{u^{2} - 3}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{\left(u^{2} - 3\right)^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{u^{2} - 3}} = \frac{1}{u^{2} \sqrt{u^{2} - 3}}$

            TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(3)*sec(_theta), rewritten=cos(_theta)/3, substep=ConstantTimesRule(constant=1/3, other=cos(_theta), substep=TrigRule(func='cos', arg=_theta, context=cos(_theta), symbol=_theta), context=cos(_theta)/3, symbol=_theta), restriction=(_u < sqrt(3)) & (_u > -sqrt(3)), context=1/(_u**2*sqrt(_u**2 - 3)), symbol=_u)

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \left(\begin{cases} \frac{\sqrt{u^{2} - 3}}{3 u} & \text{for}\: u > - \sqrt{3} \wedge u < \sqrt{3} \end{cases}\right)$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \left(\begin{cases} \frac{\sqrt{x}}{3 \sqrt{x + 3}} & \text{for}\: x \geq -3 \wedge x < 0 \end{cases}\right)$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{\sqrt{x} \left(x + 3\right)^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{x + 3} + 3 \sqrt{x} \sqrt{x + 3}}$

   2. que $u = \sqrt{x + 3}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{2 \sqrt{x + 3}}$ y ponemos $2 du$:

      $\int \frac{2}{\left(u^{2} - 3\right)^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{u^{2} - 3}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{\left(u^{2} - 3\right)^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{u^{2} - 3}}\, du = 2 \int \frac{1}{\left(u^{2} - 3\right)^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{u^{2} - 3}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{1}{\left(u^{2} - 3\right)^{\frac{3}{2}} + 3 \sqrt{u^{2} - 3}} = \frac{1}{u^{2} \sqrt{u^{2} - 3}}$

            TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=sqrt(3)*sec(_theta), rewritten=cos(_theta)/3, substep=ConstantTimesRule(constant=1/3, other=cos(_theta), substep=TrigRule(func='cos', arg=_theta, context=cos(_theta), symbol=_theta), context=cos(_theta)/3, symbol=_theta), restriction=(_u < sqrt(3)) & (_u > -sqrt(3)), context=1/(_u**2*sqrt(_u**2 - 3)), symbol=_u)

         Por lo tanto, el resultado es: $2 \left(\begin{cases} \frac{\sqrt{u^{2} - 3}}{3 u} & \text{for}\: u > - \sqrt{3} \wedge u < \sqrt{3} \end{cases}\right)$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 \left(\begin{cases} \frac{\sqrt{x}}{3 \sqrt{x + 3}} & \text{for}\: x \geq -3 \wedge x < 0 \end{cases}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\begin{cases} \frac{2 \sqrt{x}}{3 \sqrt{x + 3}} & \text{for}\: x \geq -3 \wedge x < 0 \end{cases}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\begin{cases} \frac{2 \sqrt{x}}{3 \sqrt{x + 3}} & \text{for}\: x \geq -3 \wedge x < 0 \end{cases}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\begin{cases} \frac{2 \sqrt{x}}{3 \sqrt{x + 3}} & \text{for}\: x \geq -3 \wedge x < 0 \end{cases}+ \mathrm{constant}$