Integral de (e^√x-1)/(√x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{\sqrt{x}}$.

      Luego que $du = \frac{e^{\sqrt{x}} dx}{2 \sqrt{x}}$ y ponemos $du$:

      $\int \frac{2 u - 2}{u}\, du$

      1. que $u = 2 u$.

         Luego que $du = 2 du$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{u - 2}{u}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{u - 2}{u} = 1 - \frac{2}{u}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{2}{u}\right)\, du = - 2 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(u \right)}$

            El resultado es: $u - 2 \log{\left(u \right)}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 u - 2 \log{\left(2 u \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $2 e^{\sqrt{x}} - 2 \log{\left(2 e^{\sqrt{x}} \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{e^{\sqrt{x}} - 1}{\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \frac{1}{\sqrt{x}}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{2 x^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- 2 du$:

         $\int \left(- \frac{2 e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du = - 2 \int \frac{e^{\frac{1}{u}}}{u^{2}}\, du$

            1. que $u = \frac{1}{u}$.

               Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $- du$:

               $\int \left(- e^{u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\text{False}$

                  1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                     $\int e^{u}\, du = e^{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- e^{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- e^{\frac{1}{u}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{\frac{1}{u}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $2 e^{\sqrt{x}}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{\sqrt{x}}\, dx = 2 \sqrt{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{x}$

      El resultado es: $- 2 \sqrt{x} + 2 e^{\sqrt{x}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $2 e^{\sqrt{x}} - 2 \log{\left(2 e^{\sqrt{x}} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$2 e^{\sqrt{x}} - 2 \log{\left(2 e^{\sqrt{x}} \right)}+ \mathrm{constant}$