Sr Examen

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Otras calculadoras

¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de x/(2x^2+1)^3
Integral de x^2/((x+1)^4)
Integral de (x^2+x+1)/((x^2+1)^3)
Integral de x^2(x-1)^3
Expresiones idénticas
(x^ dos +x+ uno)/((x^ dos + uno)^ tres)
(x al cuadrado más x más 1) dividir por ((x al cuadrado más 1) al cubo )
(x en el grado dos más x más uno) dividir por ((x en el grado dos más uno) en el grado tres)
(x2+x+1)/((x2+1)3)
x2+x+1/x2+13
(x²+x+1)/((x²+1)³)
(x en el grado 2+x+1)/((x en el grado 2+1) en el grado 3)
x^2+x+1/x^2+1^3
(x^2+x+1) dividir por ((x^2+1)^3)
(x^2+x+1)/((x^2+1)^3)dx
Expresiones semejantes
(x^2+x+1)/((x^2-1)^3)
(x^2-x+1)/((x^2+1)^3)
(x^2+x-1)/((x^2+1)^3)

Resolución de integrales/ x^2+1/ x^2+x/ (x^2+x+1)/((x^2+1)^3)

Integral de (x^2+x+1)/((x^2+1)^3) dx

Solución

Ha introducido [src]

  1              
  /              
 |               
 |   2           
 |  x  + x + 1   
 |  ---------- dx
 |          3    
 |  / 2    \     
 |  \x  + 1/     
 |               
/                
0

$$\int\limits_{0}^{1} \frac{\left(x^{2} + x\right) + 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}\, dx$$

Integral((x^2 + x + 1)/(x^2 + 1)^3, (x, 0, 1))

Solución detallada

Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\left(x^{2} + x\right) + 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} = \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = x^{2} + 1$ .
    
    Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{1}{2 u^{3}}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{3}}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{4 u^{2}}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{1}{4 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
  El resultado es: $\frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{4 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\left(x^{2} + x\right) + 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} = \frac{x^{2} + x + 1}{x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1}$
2. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{x^{2} + x + 1}{x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1} = \frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} + \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
3. Integramos término a término:
  1. que $u = x^{2} + 1$ .
    
    Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $\frac{du}{2}$ :
    
    $\int \frac{1}{2 u^{3}}\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{3}}\, du}{2}$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{4 u^{2}}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{1}{4 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
  El resultado es: $\frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{4 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\frac{\left(x^{2} + x\right) + 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}} = \frac{x^{2}}{x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1} + \frac{x}{x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1}$
2. Integramos término a término:
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{x^{2}}{x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1} = \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}$
  2. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}\, dx$
      
      TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=tan(_theta), rewritten=cos(_theta)**4, substep=RewriteRule(rewritten=(cos(2*_theta)/2 + 1/2)**2, substep=AlternativeRule(alternatives=[RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)**2/4 + cos(2*_theta)/2 + 1/4, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(2*_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(4*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=cos(4*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(4*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(2*_theta)**2, symbol=_theta), context=cos(2*_theta)**2/4, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/4, context=1/4, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)**2/4 + cos(2*_theta)/2 + 1/4, symbol=_theta), context=(cos(2*_theta)/2 + 1/2)**2, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)**2/4 + cos(2*_theta)/2 + 1/4, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(2*_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(4*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=cos(4*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(4*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(2*_theta)**2, symbol=_theta), context=cos(2*_theta)**2/4, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/4, context=1/4, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)**2/4 + cos(2*_theta)/2 + 1/4, symbol=_theta), context=(cos(2*_theta)/2 + 1/2)**2, symbol=_theta)], context=(cos(2*_theta)/2 + 1/2)**2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**4, symbol=_theta), restriction=True, context=(x**2 + 1)**(-3), symbol=x)
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x \left(1 - x^{2}\right)}{8 \left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{3 \operatorname{atan}{\left(x \right)}}{8}$
    El resultado es: $- \frac{x \left(1 - x^{2}\right)}{8 \left(x^{2} + 1\right)^{2}} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{8}$
  1. que $u = x^{2}$ .
    
    Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int \frac{1}{2 u^{3} + 6 u^{2} + 6 u + 2}\, du$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{1}{2 u^{3} + 6 u^{2} + 6 u + 2} = \frac{1}{2 \left(u + 1\right)^{3}}$
    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \frac{1}{2 \left(u + 1\right)^{3}}\, du = \frac{\int \frac{1}{\left(u + 1\right)^{3}}\, du}{2}$
      
      que $u = u + 1$ .
      
      Luego que $du = du$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{3}}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{1}{2 \left(u + 1\right)^{2}}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{4 \left(u + 1\right)^{2}}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{1}{4 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\frac{1}{x^{6} + 3 x^{4} + 3 x^{2} + 1} = \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}$
    
    TrigSubstitutionRule(theta=_theta, func=tan(_theta), rewritten=cos(_theta)**4, substep=RewriteRule(rewritten=(cos(2*_theta)/2 + 1/2)**2, substep=AlternativeRule(alternatives=[RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)**2/4 + cos(2*_theta)/2 + 1/4, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(2*_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(4*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=cos(4*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(4*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(2*_theta)**2, symbol=_theta), context=cos(2*_theta)**2/4, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/4, context=1/4, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)**2/4 + cos(2*_theta)/2 + 1/4, symbol=_theta), context=(cos(2*_theta)/2 + 1/2)**2, symbol=_theta), RewriteRule(rewritten=cos(2*_theta)**2/4 + cos(2*_theta)/2 + 1/4, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(2*_theta)**2, substep=RewriteRule(rewritten=cos(4*_theta)/2 + 1/2, substep=AddRule(substeps=[ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(4*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=4*_theta, constant=1/4, substep=ConstantTimesRule(constant=1/4, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(4*_theta), symbol=_theta), context=cos(4*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/2, context=1/2, symbol=_theta)], context=cos(4*_theta)/2 + 1/2, symbol=_theta), context=cos(2*_theta)**2, symbol=_theta), context=cos(2*_theta)**2/4, symbol=_theta), ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(2*_theta), substep=URule(u_var=_u, u_func=2*_theta, constant=1/2, substep=ConstantTimesRule(constant=1/2, other=cos(_u), substep=TrigRule(func='cos', arg=_u, context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(_u), symbol=_u), context=cos(2*_theta), symbol=_theta), context=cos(2*_theta)/2, symbol=_theta), ConstantRule(constant=1/4, context=1/4, symbol=_theta)], context=cos(2*_theta)**2/4 + cos(2*_theta)/2 + 1/4, symbol=_theta), context=(cos(2*_theta)/2 + 1/2)**2, symbol=_theta)], context=(cos(2*_theta)/2 + 1/2)**2, symbol=_theta), context=cos(_theta)**4, symbol=_theta), restriction=True, context=(x**2 + 1)**(-3), symbol=x)
  El resultado es: $\frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{4 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}$
Ahora simplificar:

$\frac{- x^{2} + 2 x \left(x^{2} + 1\right)^{2} + 2 \left(x^{2} + 1\right)^{3} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1}{4 \left(x^{2} + 1\right)^{3}}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{- x^{2} + 2 x \left(x^{2} + 1\right)^{2} + 2 \left(x^{2} + 1\right)^{3} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1}{4 \left(x^{2} + 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{- x^{2} + 2 x \left(x^{2} + 1\right)^{2} + 2 \left(x^{2} + 1\right)^{3} \operatorname{atan}{\left(x \right)} - 1}{4 \left(x^{2} + 1\right)^{3}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                      
 |                                                       
 |  2                                                    
 | x  + x + 1          atan(x)        1            x     
 | ---------- dx = C + ------- - ----------- + ----------
 |         3              2                2     /     2\
 | / 2    \                        /     2\    2*\1 + x /
 | \x  + 1/                      4*\1 + x /              
 |                                                       
/

$$\int \frac{\left(x^{2} + x\right) + 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{3}}\, dx = C + \frac{x}{2 \left(x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2} - \frac{1}{4 \left(x^{2} + 1\right)^{2}}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

7    pi
-- + --
16   8

$$\frac{\pi}{8} + \frac{7}{16}$$

7    pi
-- + --
16   8

$$\frac{\pi}{8} + \frac{7}{16}$$

7/16 + pi/8

Respuesta numérica [src]

0.830199081698724

0.830199081698724

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones semejantes

Integral de (x^2+x+1)/((x^2+1)^3) dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3