Integral de (7x-3)^10 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 7 x - 3$.

      Luego que $du = 7 dx$ y ponemos $\frac{du}{7}$:

      $\int \frac{u^{10}}{7}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{10}\, du = \frac{\int u^{10}\, du}{7}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{11}}{77}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\left(7 x - 3\right)^{11}}{77}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(7 x - 3\right)^{10} = 282475249 x^{10} - 1210608210 x^{9} + 2334744405 x^{8} - 2668279320 x^{7} + 2001209490 x^{6} - 1029193452 x^{5} + 367569090 x^{4} - 90016920 x^{3} + 14467005 x^{2} - 1377810 x + 59049$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 282475249 x^{10}\, dx = 282475249 \int x^{10}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{10}\, dx = \frac{x^{11}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{282475249 x^{11}}{11}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1210608210 x^{9}\right)\, dx = - 1210608210 \int x^{9}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{9}\, dx = \frac{x^{10}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 121060821 x^{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2334744405 x^{8}\, dx = 2334744405 \int x^{8}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{8}\, dx = \frac{x^{9}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $259416045 x^{9}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 2668279320 x^{7}\right)\, dx = - 2668279320 \int x^{7}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{7}\, dx = \frac{x^{8}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 333534915 x^{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 2001209490 x^{6}\, dx = 2001209490 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $285887070 x^{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1029193452 x^{5}\right)\, dx = - 1029193452 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 171532242 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 367569090 x^{4}\, dx = 367569090 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $73513818 x^{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 90016920 x^{3}\right)\, dx = - 90016920 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 22504230 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 14467005 x^{2}\, dx = 14467005 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4822335 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1377810 x\right)\, dx = - 1377810 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 688905 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 59049\, dx = 59049 x$

      El resultado es: $\frac{282475249 x^{11}}{11} - 121060821 x^{10} + 259416045 x^{9} - 333534915 x^{8} + 285887070 x^{7} - 171532242 x^{6} + 73513818 x^{5} - 22504230 x^{4} + 4822335 x^{3} - 688905 x^{2} + 59049 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(7 x - 3\right)^{11}}{77}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(7 x - 3\right)^{11}}{77}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(7 x - 3\right)^{11}}{77}+ \mathrm{constant}$