Sr Examen

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Integral de X/(x^2-2x+2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                
  /                
 |                 
 |       x         
 |  ------------ dx
 |   2             
 |  x  - 2*x + 2   
 |                 
/                  
0                  
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{x}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}\, dx$$
Integral(x/(x^2 - 2*x + 2), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /               
 |                
 |      x         
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  - 2*x + 2   
 |                
/                 
Reescribimos la función subintegral
               /  2*x - 2   \                    
               |------------|                    
               | 2          |                    
     x         \x  - 2*x + 2/           1        
------------ = -------------- + -----------------
 2                   2            /        2    \
x  - 2*x + 2                    1*\(-x + 1)  + 1/
o
  /                 
 |                  
 |      x           
 | ------------ dx  
 |  2              =
 | x  - 2*x + 2     
 |                  
/                   
  
  /                                     
 |                                      
 |   2*x - 2                            
 | ------------ dx                      
 |  2                                   
 | x  - 2*x + 2        /                
 |                    |                 
/                     |       1         
------------------ +  | ------------- dx
        2             |         2       
                      | (-x + 1)  + 1   
                      |                 
                     /                  
En integral
  /               
 |                
 |   2*x - 2      
 | ------------ dx
 |  2             
 | x  - 2*x + 2   
 |                
/                 
------------------
        2         
hacemos el cambio
     2      
u = x  - 2*x
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 2 + u                
 |                      
/             log(2 + u)
----------- = ----------
     2            2     
hacemos cambio inverso
  /                                   
 |                                    
 |   2*x - 2                          
 | ------------ dx                    
 |  2                                 
 | x  - 2*x + 2                       
 |                      /     2      \
/                    log\2 + x  - 2*x/
------------------ = -----------------
        2                    2        
En integral
  /                
 |                 
 |       1         
 | ------------- dx
 |         2       
 | (-x + 1)  + 1   
 |                 
/                  
hacemos el cambio
v = 1 - x
entonces
integral =
  /                   
 |                    
 |   1                
 | ------ dv = atan(v)
 |      2             
 | 1 + v              
 |                    
/                     
hacemos cambio inverso
  /                               
 |                                
 |       1                        
 | ------------- dx = atan(-1 + x)
 |         2                      
 | (-x + 1)  + 1                  
 |                                
/                                 
La solución:
       /     2      \               
    log\2 + x  - 2*x/               
C + ----------------- + atan(-1 + x)
            2                       
Respuesta (Indefinida) [src]
  /                                                      
 |                          /     2      \               
 |      x                log\2 + x  - 2*x/               
 | ------------ dx = C + ----------------- + atan(-1 + x)
 |  2                            2                       
 | x  - 2*x + 2                                          
 |                                                       
/                                                        
$$\int \frac{x}{\left(x^{2} - 2 x\right) + 2}\, dx = C + \frac{\log{\left(x^{2} - 2 x + 2 \right)}}{2} + \operatorname{atan}{\left(x - 1 \right)}$$
Gráfica
Respuesta [src]
  log(2)   pi
- ------ + --
    2      4 
$$- \frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\pi}{4}$$
=
=
  log(2)   pi
- ------ + --
    2      4 
$$- \frac{\log{\left(2 \right)}}{2} + \frac{\pi}{4}$$
-log(2)/2 + pi/4
Respuesta numérica [src]
0.438824573117476
0.438824573117476

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.