Integral de (8arccos⁡x-(9x)^2-5x) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- 5 x\right)\, dx = - 5 \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{2}}{2}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \left(9 x\right)^{2}\right)\, dx = - \int \left(9 x\right)^{2}\, dx$

         1. que $u = 9 x$.

            Luego que $du = 9 dx$ y ponemos $\frac{du}{9}$:

            $\int \frac{u^{2}}{9}\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int u^{2}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{9}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{27}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $27 x^{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 27 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8 \operatorname{acos}{\left(x \right)}\, dx = 8 \int \operatorname{acos}{\left(x \right)}\, dx$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - x^{2}}}$.

            Para buscar $v{\left(x \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, dx = x$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\right)\, dx = - \int \frac{x}{\sqrt{1 - x^{2}}}\, dx$

            1. que $u = 1 - x^{2}$.

               Luego que $du = - 2 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \sqrt{1 - x^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{1 - x^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $8 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 8 \sqrt{1 - x^{2}}$

      El resultado es: $- 27 x^{3} + 8 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 8 \sqrt{1 - x^{2}}$

   El resultado es: $- 27 x^{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 8 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 8 \sqrt{1 - x^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 27 x^{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 8 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 8 \sqrt{1 - x^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 27 x^{3} - \frac{5 x^{2}}{2} + 8 x \operatorname{acos}{\left(x \right)} - 8 \sqrt{1 - x^{2}}+ \mathrm{constant}$