Integral de ((3*x-1)^2)/(x)^(1/3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

      $\int \left(27 u^{7} - 18 u^{4} + 3 u\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 27 u^{7}\, du = 27 \int u^{7}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{7}\, du = \frac{u^{8}}{8}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{27 u^{8}}{8}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 18 u^{4}\right)\, du = - 18 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{18 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 u\, du = 3 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 u^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{27 u^{8}}{8} - \frac{18 u^{5}}{5} + \frac{3 u^{2}}{2}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{27 x^{\frac{8}{3}}}{8} - \frac{18 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(3 x - 1\right)^{2}}{\sqrt[3]{x}} = \frac{9 x^{2} - 6 x + 1}{\sqrt[3]{x}}$

   2. que $u = \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{3 u^{6} - 18 u^{3} + 27}{u^{9}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 u^{6} - 18 u^{3} + 27}{u^{9}}\, du = - \int \frac{3 u^{6} - 18 u^{3} + 27}{u^{9}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{3 u^{6} - 18 u^{3} + 27}{u^{9}} = \frac{3}{u^{3}} - \frac{18}{u^{6}} + \frac{27}{u^{9}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{3}{u^{3}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3}{2 u^{2}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{18}{u^{6}}\right)\, du = - 18 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{18}{5 u^{5}}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{27}{u^{9}}\, du = 27 \int \frac{1}{u^{9}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{9}}\, du = - \frac{1}{8 u^{8}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{27}{8 u^{8}}$

            El resultado es: $- \frac{3}{2 u^{2}} + \frac{18}{5 u^{5}} - \frac{27}{8 u^{8}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{2 u^{2}} - \frac{18}{5 u^{5}} + \frac{27}{8 u^{8}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{27 x^{\frac{8}{3}}}{8} - \frac{18 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{\left(3 x - 1\right)^{2}}{\sqrt[3]{x}} = 9 x^{\frac{5}{3}} - 6 x^{\frac{2}{3}} + \frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 9 x^{\frac{5}{3}}\, dx = 9 \int x^{\frac{5}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{5}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{8}{3}}}{8}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{27 x^{\frac{8}{3}}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 6 x^{\frac{2}{3}}\right)\, dx = - 6 \int x^{\frac{2}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{2}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{18 x^{\frac{5}{3}}}{5}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{\sqrt[3]{x}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

      El resultado es: $\frac{27 x^{\frac{8}{3}}}{8} - \frac{18 x^{\frac{5}{3}}}{5} + \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(45 x^{2} - 48 x + 20\right)}{40}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(45 x^{2} - 48 x + 20\right)}{40}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 x^{\frac{2}{3}} \left(45 x^{2} - 48 x + 20\right)}{40}+ \mathrm{constant}$