Integral de s√(3x+1)2bx dx

1. que $u = \sqrt{3 x + 1}$.

   Luego que $du = \frac{3 dx}{2 \sqrt{3 x + 1}}$ y ponemos $du$:

   $\int \left(4 b s \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)^{2} + \frac{4 b s \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)}{3}\right)\, du$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 b s \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)^{2}\, du = 4 b s \int \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)^{2}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)^{2} = \frac{u^{4}}{9} - \frac{2 u^{2}}{9} + \frac{1}{9}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{4}}{9}\, du = \frac{\int u^{4}\, du}{9}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{5}}{45}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{2 u^{2}}{9}\right)\, du = - \frac{2 \int u^{2}\, du}{9}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u^{3}}{27}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{1}{9}\, du = \frac{u}{9}$

            El resultado es: $\frac{u^{5}}{45} - \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{u}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $4 b s \left(\frac{u^{5}}{45} - \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{u}{9}\right)$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 b s \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)}{3}\, du = \frac{4 b s \int \left(\frac{u^{2}}{3} - \frac{1}{3}\right)\, du}{3}$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{u^{2}}{3}\, du = \frac{\int u^{2}\, du}{3}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u^{3}}{9}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \left(- \frac{1}{3}\right)\, du = - \frac{u}{3}$

            El resultado es: $\frac{u^{3}}{9} - \frac{u}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{4 b s \left(\frac{u^{3}}{9} - \frac{u}{3}\right)}{3}$

      El resultado es: $\frac{4 b s \left(\frac{u^{3}}{9} - \frac{u}{3}\right)}{3} + 4 b s \left(\frac{u^{5}}{45} - \frac{2 u^{3}}{27} + \frac{u}{9}\right)$

   Si ahora sustituir $u$ más en:

   $\frac{4 b s \left(\frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{9} - \frac{\sqrt{3 x + 1}}{3}\right)}{3} + 4 b s \left(\frac{\left(3 x + 1\right)^{\frac{5}{2}}}{45} - \frac{2 \left(3 x + 1\right)^{\frac{3}{2}}}{27} + \frac{\sqrt{3 x + 1}}{9}\right)$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{4 b s \sqrt{3 x + 1} \left(27 x^{2} + 3 x - 2\right)}{135}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{4 b s \sqrt{3 x + 1} \left(27 x^{2} + 3 x - 2\right)}{135}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{4 b s \sqrt{3 x + 1} \left(27 x^{2} + 3 x - 2\right)}{135}+ \mathrm{constant}$