Integral de x^3(5-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{4} + 5 u^{3}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 5 u^{3}\, du = 5 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 u^{4}}{4}$

         El resultado es: $\frac{u^{5}}{5} + \frac{5 u^{4}}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{5}}{5} + \frac{5 x^{4}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $x^{3} \left(5 - x\right) = - x^{4} + 5 x^{3}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{4}\right)\, dx = - \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 5 x^{3}\, dx = 5 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{5 x^{4}}{4}$

      El resultado es: $- \frac{x^{5}}{5} + \frac{5 x^{4}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{4} \left(25 - 4 x\right)}{20}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4} \left(25 - 4 x\right)}{20}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \left(25 - 4 x\right)}{20}+ \mathrm{constant}$