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Resolución de integrales/ 16+x^2/ X/(16+x^2)^(5/4)

Integral de X/(16+x^2)^(5/4) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                
  /                
 |                 
 |       x         
 |  ------------ dx
 |           5/4   
 |  /      2\      
 |  \16 + x /      
 |                 
/                  
0
∫0∞x(x2+16)54 dx\int\limits_{0}^{\infty} \frac{x}{\left(x^{2} + 16\right)^{\frac{5}{4}}}\, dx 
Integral(x/(16 + x^2)^(5/4), (x, 0, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(x2+16)54=xx2x2+164+16x2+164\frac{x}{\left(x^{2} + 16\right)^{\frac{5}{4}}} = \frac{x}{x^{2} \sqrt[4]{x^{2} + 16} + 16 \sqrt[4]{x^{2} + 16}}

    2. que u=x2u = x^{2}.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

      ∫12uu+164+32u+164 du\int \frac{1}{2 u \sqrt[4]{u + 16} + 32 \sqrt[4]{u + 16}}\, du

      1. que u=u+164u = \sqrt[4]{u + 16}.

        Luego que du=du4(u+16)34du = \frac{du}{4 \left(u + 16\right)^{\frac{3}{4}}} y ponemos 2du2 du:

        ∫2u2 du\int \frac{2}{u^{2}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u2 du=2∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −2u- \frac{2}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2u+164- \frac{2}{\sqrt[4]{u + 16}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −2x2+164- \frac{2}{\sqrt[4]{x^{2} + 16}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x(x2+16)54=xx2x2+164+16x2+164\frac{x}{\left(x^{2} + 16\right)^{\frac{5}{4}}} = \frac{x}{x^{2} \sqrt[4]{x^{2} + 16} + 16 \sqrt[4]{x^{2} + 16}}

    2. que u=x2u = x^{2}.

      Luego que du=2xdxdu = 2 x dx y ponemos dudu:

      ∫12uu+164+32u+164 du\int \frac{1}{2 u \sqrt[4]{u + 16} + 32 \sqrt[4]{u + 16}}\, du

      1. que u=u+164u = \sqrt[4]{u + 16}.

        Luego que du=du4(u+16)34du = \frac{du}{4 \left(u + 16\right)^{\frac{3}{4}}} y ponemos 2du2 du:

        ∫2u2 du\int \frac{2}{u^{2}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫1u2 du=2∫1u2 du\int \frac{1}{u^{2}}\, du = 2 \int \frac{1}{u^{2}}\, du

          1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫1u2 du=−1u\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −2u- \frac{2}{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −2u+164- \frac{2}{\sqrt[4]{u + 16}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −2x2+164- \frac{2}{\sqrt[4]{x^{2} + 16}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −2x2+164+constant- \frac{2}{\sqrt[4]{x^{2} + 16}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−2x2+164+constant- \frac{2}{\sqrt[4]{x^{2} + 16}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                  
 |                                   
 |      x                     2      
 | ------------ dx = C - ------------
 |          5/4             _________
 | /      2\             4 /       2 
 | \16 + x /             \/  16 + x  
 |                                   
/
∫x(x2+16)54 dx=C−2x2+164\int \frac{x}{\left(x^{2} + 16\right)^{\frac{5}{4}}}\, dx = C - \frac{2}{\sqrt[4]{x^{2} + 16}}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
 Gamma(1/4) 
------------
4*Gamma(5/4)
Γ(14)4Γ(54)\frac{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)}{4 \Gamma\left(\frac{5}{4}\right)} 
=
= 
 Gamma(1/4) 
------------
4*Gamma(5/4)
Γ(14)4Γ(54)\frac{\Gamma\left(\frac{1}{4}\right)}{4 \Gamma\left(\frac{5}{4}\right)} 
gamma(1/4)/(4*gamma(5/4))

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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