Integral de cot^7x dx

Solución

Ha introducido [src]

  1           
  /           
 |            
 |     7      
 |  cot (x) dx
 |            
/             
0

$$\int\limits_{0}^{1} \cot^{7}{\left(x \right)}\, dx$$

Integral(cot(x)^7, (x, 0, 1))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\cot^{7}{\left(x \right)} = \left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3} \cot{\left(x \right)}$
Hay varias maneras de calcular esta integral.
Método #1
1. que $u = \csc^{2}{\left(x \right)}$ .
  
  Luego que $du = - 2 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$ :
  
  $\int \left(- \frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{2 u}\right)\, du$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{u}\, du}{2}$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{u} = u^{2} - 3 u + 3 - \frac{1}{u}$
    2. Integramos término a término:
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 3 u\right)\, du = - 3 \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 u^{2}}{2}$
      
      La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
      
      $\int 3\, du = 3 u$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \frac{1}{u}\right)\, du = - \int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(u \right)}$
      
      El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} - \frac{3 u^{2}}{2} + 3 u - \log{\left(u \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{6} + \frac{3 u^{2}}{4} - \frac{3 u}{2} + \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$
  Si ahora sustituir $u$ más en:
  
  $\frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{6}{\left(x \right)}}{6} + \frac{3 \csc^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{3 \csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$
Método #2
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3} \cot{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{6}{\left(x \right)} - 3 \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)} + 3 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \csc{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u^{5}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{5}\, du = - \int u^{5}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{6}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\csc^{6}{\left(x \right)}}{6}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 3 \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \csc{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{3}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \csc^{4}{\left(x \right)}}{4}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 3 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \csc{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = - \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \cot{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cot{\left(x \right)}\, dx$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
    2. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$
  El resultado es: $- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{\csc^{6}{\left(x \right)}}{6} + \frac{3 \csc^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{3 \csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$
Método #3
1. Vuelva a escribir el integrando:
  
  $\left(\csc^{2}{\left(x \right)} - 1\right)^{3} \cot{\left(x \right)} = \cot{\left(x \right)} \csc^{6}{\left(x \right)} - 3 \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)} + 3 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)} - \cot{\left(x \right)}$
2. Integramos término a término:
  1. que $u = \csc{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
    
    $\int \left(- u^{5}\right)\, du$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{5}\, du = - \int u^{5}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{6}}{6}$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\csc^{6}{\left(x \right)}}{6}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- 3 \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{4}{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \csc{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u^{3}\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u^{3}\, du = - \int u^{3}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{4}}{4}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\csc^{4}{\left(x \right)}}{4}$
    Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \csc^{4}{\left(x \right)}}{4}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int 3 \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \cot{\left(x \right)} \csc^{2}{\left(x \right)}\, dx$
    1. que $u = \csc{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = - \cot{\left(x \right)} \csc{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- du$ :
      
      $\int \left(- u\right)\, du$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int u\, du = - \int u\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{2}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $- \frac{\csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$
  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
    
    $\int \left(- \cot{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \cot{\left(x \right)}\, dx$
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\cot{\left(x \right)} = \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$
    2. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int \frac{1}{u}\, du$
      
      Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$ .
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$
    Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)}$
  El resultado es: $- \log{\left(\sin{\left(x \right)} \right)} - \frac{\csc^{6}{\left(x \right)}}{6} + \frac{3 \csc^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{3 \csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{6}{\left(x \right)}}{6} + \frac{3 \csc^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{3 \csc^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{6}{\left(x \right)}}{6} + \frac{3 \csc^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{3 \csc^{2}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                               
 |                     /   2   \        2         6           4   
 |    7             log\csc (x)/   3*csc (x)   csc (x)   3*csc (x)
 | cot (x) dx = C + ------------ - --------- - ------- + ---------
 |                       2             2          6          4    
/

$$\int \cot^{7}{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{\log{\left(\csc^{2}{\left(x \right)} \right)}}{2} - \frac{\csc^{6}{\left(x \right)}}{6} + \frac{3 \csc^{4}{\left(x \right)}}{4} - \frac{3 \csc^{2}{\left(x \right)}}{2}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

oo

$$\infty$$

oo

$$\infty$$

oo

Respuesta numérica [src]

6.88049276860284e+113

6.88049276860284e+113

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Expresiones con funciones

Integral de cot^7x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2

Método #3