Integral de (x^2+x)*e^(-x) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(- u^{2} e^{u} + u e^{u}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- u^{2} e^{u}\right)\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         El resultado es: $- u^{2} e^{u} + 3 u e^{u} - 3 e^{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- x^{2} e^{- x} - 3 x e^{- x} - 3 e^{- x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- x} \left(x^{2} + x\right) = x^{2} e^{- x} + x e^{- x}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- u^{2} e^{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int u^{2} e^{u}\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = u^{2}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = 2 u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Ahora resolvemos podintegral.

            3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du$

               1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  $\int e^{u}\, du = e^{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $2 e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}$

      1. que $u = - x$.

         Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

         $\int u e^{u}\, du$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            $\int e^{u}\, du = e^{u}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- x e^{- x} - e^{- x}$

      El resultado es: $- x^{2} e^{- x} - 3 x e^{- x} - 3 e^{- x}$

2. Ahora simplificar:

   $- \left(x^{2} + 3 x + 3\right) e^{- x}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \left(x^{2} + 3 x + 3\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \left(x^{2} + 3 x + 3\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}$