Sr Examen
Integral de (3-x)/(2x-3-x^2) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 3 - x | ------------ dx | 2 | 2*x - 3 - x | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 - x}{- x^{2} + \left(2 x - 3\right)}\, dx$$
Integral((3 - x)/(2*x - 3 - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 3 - x | ------------ dx | 2 | 2*x - 3 - x | /
Reescribimos la función subintegral
/ -2*x + 2 \
|--------------| /2 \
| 2 | |--|
3 - x \- x + 2*x - 3/ \-2/
------------ = ---------------- + ------------------------
2 2 2
2*x - 3 - x / ___ ___\
|-\/ 2 \/ 2 |
|-------*x + -----| + 1
\ 2 2 / o
/ | | 3 - x | ------------ dx | 2 = | 2*x - 3 - x | /
/
|
| -2*x + 2
| -------------- dx
| 2
| - x + 2*x - 3 /
| |
/ | 1
-------------------- - | ------------------------ dx
2 | 2
| / ___ ___\
| |-\/ 2 \/ 2 |
| |-------*x + -----| + 1
| \ 2 2 /
|
/ En integral
/
|
| -2*x + 2
| -------------- dx
| 2
| - x + 2*x - 3
|
/
--------------------
2 hacemos el cambio
2 u = - x + 2*x
entonces
integral =
/
|
| 1
| ------ du
| -3 + u
|
/ log(-3 + u)
------------ = -----------
2 2 hacemos cambio inverso
/
|
| -2*x + 2
| -------------- dx
| 2
| - x + 2*x - 3
| / 2 \
/ log\3 + x - 2*x/
-------------------- = -----------------
2 2 En integral
/ | | 1 - | ------------------------ dx | 2 | / ___ ___\ | |-\/ 2 \/ 2 | | |-------*x + -----| + 1 | \ 2 2 / | /
hacemos el cambio
___ ___
\/ 2 x*\/ 2
v = ----- - -------
2 2 entonces
integral =
/ | | 1 - | ------ dv = -atan(v) | 2 | 1 + v | /
hacemos cambio inverso
/ | / ___ ___\ | 1 ___ | \/ 2 x*\/ 2 | - | ------------------------ dx = -\/ 2 *atan|- ----- + -------| | 2 \ 2 2 / | / ___ ___\ | |-\/ 2 \/ 2 | | |-------*x + -----| + 1 | \ 2 2 / | /
La solución:
/ 2 \ / ___ ___\
log\3 + x - 2*x/ ___ | \/ 2 x*\/ 2 |
C + ----------------- - \/ 2 *atan|- ----- + -------|
2 \ 2 2 /
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ | / 2 \ / ___ \ | 3 - x log\-3 - x + 2*x/ ___ |\/ 2 *(-1 + x)| | ------------ dx = C + ------------------ - \/ 2 *atan|--------------| | 2 2 \ 2 / | 2*x - 3 - x | /
$$\int \frac{3 - x}{- x^{2} + \left(2 x - 3\right)}\, dx = C + \frac{\log{\left(- x^{2} + 2 x - 3 \right)}}{2} - \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2} \left(x - 1\right)}{2} \right)}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
/ ___\ log(2) log(3) ___ |\/ 2 | ------ - ------ - \/ 2 *atan|-----| 2 2 \ 2 /
$$- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{2}$$
=
=
/ ___\ log(2) log(3) ___ |\/ 2 | ------ - ------ - \/ 2 *atan|-----| 2 2 \ 2 /
$$- \sqrt{2} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} - \frac{\log{\left(3 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(2 \right)}}{2}$$
log(2)/2 - log(3)/2 - sqrt(2)*atan(sqrt(2)/2)
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.