Integral de arccos5x+x^3*arccos(5x^4) dx

1. Integramos término a término:

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 5 x^{4}$.

         Luego que $du = 20 x^{3} dx$ y ponemos $\frac{du}{20}$:

         $\int \frac{\operatorname{acos}{\left(u \right)}}{20}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du}{20}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \operatorname{acos}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

               1. que $u = 1 - u^{2}$.

                  Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

                  $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \sqrt{1 - u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{1 - u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \operatorname{acos}{\left(u \right)}}{20} - \frac{\sqrt{1 - u^{2}}}{20}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{x^{4} \operatorname{acos}{\left(5 x^{4} \right)}}{4} - \frac{\sqrt{1 - 25 x^{8}}}{20}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(5 x^{4} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{3}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{20 x^{3}}{\sqrt{1 - 25 x^{8}}}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{5 x^{7}}{\sqrt{1 - 25 x^{8}}}\right)\, dx = - 5 \int \frac{x^{7}}{\sqrt{1 - 25 x^{8}}}\, dx$

         1. que $u = 1 - 25 x^{8}$.

            Luego que $du = - 200 x^{7} dx$ y ponemos $- \frac{du}{200}$:

            $\int \left(- \frac{1}{200 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{200}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{u}}{100}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\sqrt{1 - 25 x^{8}}}{100}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{1 - 25 x^{8}}}{20}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = 5 x$.

         Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

         $\int \frac{\operatorname{acos}{\left(u \right)}}{5}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du}{5}$

            1. Usamos la integración por partes:

               $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

               que $u{\left(u \right)} = \operatorname{acos}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

               Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

               Para buscar $v{\left(u \right)}$:

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 1\, du = u$

               Ahora resolvemos podintegral.

            2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

               1. que $u = 1 - u^{2}$.

                  Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

                  $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

                  Si ahora sustituir $u$ más en:

                  $- \sqrt{1 - u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{1 - u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{u \operatorname{acos}{\left(u \right)}}{5} - \frac{\sqrt{1 - u^{2}}}{5}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $x \operatorname{acos}{\left(5 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{5}$

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(5 x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{5}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}$.

         Para buscar $v{\left(x \right)}$:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, dx = x$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{5 x}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}\right)\, dx = - 5 \int \frac{x}{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}\, dx$

         1. que $u = 1 - 25 x^{2}$.

            Luego que $du = - 50 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{50}$:

            $\int \left(- \frac{1}{50 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{50}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{u}}{25}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{25}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{5}$

   El resultado es: $\frac{x^{4} \operatorname{acos}{\left(5 x^{4} \right)}}{4} + x \operatorname{acos}{\left(5 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{5} - \frac{\sqrt{1 - 25 x^{8}}}{20}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{4} \operatorname{acos}{\left(5 x^{4} \right)}}{4} + x \operatorname{acos}{\left(5 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{5} - \frac{\sqrt{1 - 25 x^{8}}}{20}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{4} \operatorname{acos}{\left(5 x^{4} \right)}}{4} + x \operatorname{acos}{\left(5 x \right)} - \frac{\sqrt{1 - 25 x^{2}}}{5} - \frac{\sqrt{1 - 25 x^{8}}}{20}+ \mathrm{constant}$