Integral de arccos(7x/6) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{7 x}{6}$.

      Luego que $du = \frac{7 dx}{6}$ y ponemos $\frac{6 du}{7}$:

      $\int \frac{6 \operatorname{acos}{\left(u \right)}}{7}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du = \frac{6 \int \operatorname{acos}{\left(u \right)}\, du}{7}$

         1. Usamos la integración por partes:

            $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

            que $u{\left(u \right)} = \operatorname{acos}{\left(u \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = 1$.

            Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = - \frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$.

            Para buscar $v{\left(u \right)}$:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 1\, du = u$

            Ahora resolvemos podintegral.

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\right)\, du = - \int \frac{u}{\sqrt{1 - u^{2}}}\, du$

            1. que $u = 1 - u^{2}$.

               Luego que $du = - 2 u du$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

               $\int \left(- \frac{1}{2 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \sqrt{u}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \sqrt{1 - u^{2}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\sqrt{1 - u^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 u \operatorname{acos}{\left(u \right)}}{7} - \frac{6 \sqrt{1 - u^{2}}}{7}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $x \operatorname{acos}{\left(\frac{7 x}{6} \right)} - \frac{6 \sqrt{1 - \frac{49 x^{2}}{36}}}{7}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{7 x}{6} \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 1$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = - \frac{7}{6 \sqrt{1 - \frac{49 x^{2}}{36}}}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 1\, dx = x$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{7 x}{6 \sqrt{1 - \frac{49 x^{2}}{36}}}\right)\, dx = - \frac{7 \int \frac{x}{\sqrt{1 - \frac{49 x^{2}}{36}}}\, dx}{6}$

      1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

         Método #1

         1. que $u = 1 - \frac{49 x^{2}}{36}$.

            Luego que $du = - \frac{49 x dx}{18}$ y ponemos $- \frac{18 du}{49}$:

            $\int \left(- \frac{18}{49 \sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{18 \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{49}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{36 \sqrt{u}}{49}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{36 \sqrt{1 - \frac{49 x^{2}}{36}}}{49}$

         Método #2

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{x}{\sqrt{1 - \frac{49 x^{2}}{36}}} = \frac{6 x}{\sqrt{36 - 49 x^{2}}}$

         2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{6 x}{\sqrt{36 - 49 x^{2}}}\, dx = 6 \int \frac{x}{\sqrt{36 - 49 x^{2}}}\, dx$

            1. que $u = 36 - 49 x^{2}$.

               Luego que $du = - 98 x dx$ y ponemos $- \frac{du}{98}$:

               $\int \left(- \frac{1}{98 \sqrt{u}}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \frac{\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du}{98}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sqrt{u}}{49}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\sqrt{36 - 49 x^{2}}}{49}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6 \sqrt{36 - 49 x^{2}}}{49}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 \sqrt{1 - \frac{49 x^{2}}{36}}}{7}$

2. Ahora simplificar:

   $x \operatorname{acos}{\left(\frac{7 x}{6} \right)} - \frac{\sqrt{36 - 49 x^{2}}}{7}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $x \operatorname{acos}{\left(\frac{7 x}{6} \right)} - \frac{\sqrt{36 - 49 x^{2}}}{7}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$x \operatorname{acos}{\left(\frac{7 x}{6} \right)} - \frac{\sqrt{36 - 49 x^{2}}}{7}+ \mathrm{constant}$