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Resolución de integrales/ (lnx)^2/ ((lnx)^2)/x^2

Integral de ((lnx)^2)/x^2 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |     2      
 |  log (x)   
 |  ------- dx
 |      2     
 |     x      
 |            
/             
0
∫01log⁡(x)2x2 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}}\, dx 
Integral(log(x)^2/x^2, (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

    Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

    ∫u2e−u du\int u^{2} e^{- u}\, du

    1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que u=−uu = - u.

        Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

        ∫(−u2eu) du\int \left(- u^{2} e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2eu du=−∫u2eu du\int u^{2} e^{u}\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2eu du=2∫eu du\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −u2eu+2ueu−2eu- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −u2e−u−2ue−u−2e−u- u^{2} e^{- u} - 2 u e^{- u} - 2 e^{- u}

      Método #2

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=e−u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}.

        Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=−uu = - u.

          Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

          ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−u- e^{- u}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=−2uu{\left(u \right)} = - 2 u y que dv⁡(u)=e−u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{- u}.

        Entonces du⁡(u)=−2\operatorname{du}{\left(u \right)} = -2.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=−uu = - u.

          Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

          ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−u- e^{- u}

        Ahora resolvemos podintegral.

      3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2e−u du=2∫e−u du\int 2 e^{- u}\, du = 2 \int e^{- u}\, du

        1. que u=−uu = - u.

          Luego que du=−dudu = - du y ponemos −du- du:

          ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−u- e^{- u}

        Por lo tanto, el resultado es: −2e−u- 2 e^{- u}

    Si ahora sustituir uu más en:

    −log⁡(x)2x−2log⁡(x)x−2x- \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{2}{x}

  2. Ahora simplificar:

    −log⁡(x)2+2log⁡(x)+2x- \frac{\log{\left(x \right)}^{2} + 2 \log{\left(x \right)} + 2}{x}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −log⁡(x)2+2log⁡(x)+2x+constant- \frac{\log{\left(x \right)}^{2} + 2 \log{\left(x \right)} + 2}{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−log⁡(x)2+2log⁡(x)+2x+constant- \frac{\log{\left(x \right)}^{2} + 2 \log{\left(x \right)} + 2}{x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                       
 |                                        
 |    2                    2              
 | log (x)          2   log (x)   2*log(x)
 | ------- dx = C - - - ------- - --------
 |     2            x      x         x    
 |    x                                   
 |                                        
/
∫log⁡(x)2x2 dx=C−log⁡(x)2x−2log⁡(x)x−2x\int \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x^{2}}\, dx = C - \frac{\log{\left(x \right)}^{2}}{x} - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{2}{x}
Simplificar
Respuesta [src] 
oo
∞\infty 
=
= 
oo
∞\infty 
oo
Respuesta numérica [src] 
2.55776753743723e+22
2.55776753743723e+22

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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