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¿Cómo usar?
Integral de d{x}:
Integral de 1-7*x^2
Integral de 1/(1-y^2)
Integral de y=x-3
Integral de y^(-2/3)
Expresiones idénticas
cos4x*cos5x
coseno de 4x multiplicar por coseno de 5x
cos4xcos5x
cos4x*cos5xdx

Resolución de integrales/ cos5x/ cos4x/ cos4x*cos5x

Integral de cos4x*cos5x dx

Solución

Ha introducido [src]

  -pi                    
   /                     
  |                      
  |  cos(4*x)*cos(5*x) dx
  |                      
 /                       
-pi                      
----                     
 2

$$\int\limits_{- \frac{\pi}{2}}^{- \pi} \cos{\left(4 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx$$

Integral(cos(4*x)*cos(5*x), (x, -pi/2, -pi))

Solución detallada

Vuelva a escribir el integrando:

$\cos{\left(4 x \right)} \cos{\left(5 x \right)} = 128 \cos^{9}{\left(x \right)} - 288 \cos^{7}{\left(x \right)} + 216 \cos^{5}{\left(x \right)} - 60 \cos^{3}{\left(x \right)} + 5 \cos{\left(x \right)}$
Integramos término a término:
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int 128 \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx = 128 \int \cos^{9}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\cos^{9}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)}$
  2. Hay varias maneras de calcular esta integral.
    Método #1
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
    2. Integramos término a término:
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{8}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      El resultado es: $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
    Método #2
    1. Vuelva a escribir el integrando:
      
      $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{4} \cos{\left(x \right)} = \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
    2. Integramos término a término:
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{8}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 4 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{6}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 6 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      
      La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 4 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 4 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      
      que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{2}\, du$
      
      Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
      
      $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
      
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      
      La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
      
      El resultado es: $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{4 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{6 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{4 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{128 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - \frac{512 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{768 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{512 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + 128 \sin{\left(x \right)}$
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- 288 \cos^{7}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 288 \int \cos^{7}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\cos^{7}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)}$
  2. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{3} \cos{\left(x \right)} = - \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
  3. Integramos término a término:
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
        
        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
        
        $\int u^{6}\, du$
        
        Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$
        
        Si ahora sustituir $u$ más en:
        
        $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int 3 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 3 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
        
        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
        
        $\int u^{4}\, du$
        
        Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
        
        Si ahora sustituir $u$ más en:
        
        $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
      Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 3 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 3 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
        
        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
        
        $\int u^{2}\, du$
        
        Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Si ahora sustituir $u$ más en:
        
        $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      Por lo tanto, el resultado es: $- \sin^{3}{\left(x \right)}$
    1. La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
    El resultado es: $- \frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7} + \frac{3 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \sin^{3}{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)}$
  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{288 \sin^{7}{\left(x \right)}}{7} - \frac{864 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} + 288 \sin^{3}{\left(x \right)} - 288 \sin{\left(x \right)}$
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int 216 \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx = 216 \int \cos^{5}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\cos^{5}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)}$
  2. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right)^{2} \cos{\left(x \right)} = \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \cos{\left(x \right)}$
  3. Integramos término a término:
    1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
      
      Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
      
      $\int u^{4}\, du$
      1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$
      Si ahora sustituir $u$ más en:
      
      $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$
    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
      
      $\int \left(- 2 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 2 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$
      1. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
        
        Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
        
        $\int u^{2}\, du$
        
        Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Si ahora sustituir $u$ más en:
        
        $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$
    1. La integral del coseno es seno:
      
      $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
    El resultado es: $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - \frac{2 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{216 \sin^{5}{\left(x \right)}}{5} - 144 \sin^{3}{\left(x \right)} + 216 \sin{\left(x \right)}$
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int \left(- 60 \cos^{3}{\left(x \right)}\right)\, dx = - 60 \int \cos^{3}{\left(x \right)}\, dx$
  1. Vuelva a escribir el integrando:
    
    $\cos^{3}{\left(x \right)} = \left(1 - \sin^{2}{\left(x \right)}\right) \cos{\left(x \right)}$
  2. que $u = \sin{\left(x \right)}$ .
    
    Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$ :
    
    $\int \left(1 - u^{2}\right)\, du$
    1. Integramos término a término:
      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:
        
        $\int 1\, du = u$
      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
        
        $\int \left(- u^{2}\right)\, du = - \int u^{2}\, du$
        
        Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$ :
        
        $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$
        
        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{3}$
      El resultado es: $- \frac{u^{3}}{3} + u$
    Si ahora sustituir $u$ más en:
    
    $- \frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
  Por lo tanto, el resultado es: $20 \sin^{3}{\left(x \right)} - 60 \sin{\left(x \right)}$
1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:
  
  $\int 5 \cos{\left(x \right)}\, dx = 5 \int \cos{\left(x \right)}\, dx$
  1. La integral del coseno es seno:
    
    $\int \cos{\left(x \right)}\, dx = \sin{\left(x \right)}$
  Por lo tanto, el resultado es: $5 \sin{\left(x \right)}$
El resultado es: $\frac{128 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - 32 \sin^{7}{\left(x \right)} + 24 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{20 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$
Ahora simplificar:

$\frac{\left(128 \sin^{8}{\left(x \right)} - 288 \sin^{6}{\left(x \right)} + 216 \sin^{4}{\left(x \right)} - 60 \sin^{2}{\left(x \right)} + 9\right) \sin{\left(x \right)}}{9}$
Añadimos la constante de integración:

$\frac{\left(128 \sin^{8}{\left(x \right)} - 288 \sin^{6}{\left(x \right)} + 216 \sin^{4}{\left(x \right)} - 60 \sin^{2}{\left(x \right)} + 9\right) \sin{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(128 \sin^{8}{\left(x \right)} - 288 \sin^{6}{\left(x \right)} + 216 \sin^{4}{\left(x \right)} - 60 \sin^{2}{\left(x \right)} + 9\right) \sin{\left(x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta (Indefinida) [src]

  /                                                           3             9            
 |                                  7            5      20*sin (x)   128*sin (x)         
 | cos(4*x)*cos(5*x) dx = C - 32*sin (x) + 24*sin (x) - ---------- + ----------- + sin(x)
 |                                                          3             9              
/

$$\int \cos{\left(4 x \right)} \cos{\left(5 x \right)}\, dx = C + \frac{128 \sin^{9}{\left(x \right)}}{9} - 32 \sin^{7}{\left(x \right)} + 24 \sin^{5}{\left(x \right)} - \frac{20 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3} + \sin{\left(x \right)}$$

Simplificar

Gráfica

Trazar el gráfico f(x)

Respuesta [src]

5/9

$$\frac{5}{9}$$

5/9

$$\frac{5}{9}$$

5/9

Respuesta numérica [src]

0.555555555555555

0.555555555555555

Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

Otras calculadoras

¿Cómo usar?

Expresiones idénticas

Integral de cos4x*cos5x dx

Límites de integración:

Gráfico:

Definida a trozos:

Solución

Método #1

Método #2