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Resolución de integrales/ (3x-1)/ x^2+9/ (3x-1)/(x^2+9)

Integral de (3x-1)/(x^2+9) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1           
  /           
 |            
 |  3*x - 1   
 |  ------- dx
 |    2       
 |   x  + 9   
 |            
/             
0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{3 x - 1}{x^{2} + 9}\, dx$$ 
Integral((3*x - 1)/(x^2 + 9), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /          
 |           
 | 3*x - 1   
 | ------- dx
 |   2       
 |  x  + 9   
 |           
/
Reescribimos la función subintegral
                2*x                  
          3*------------     /-1 \   
             2               |---|   
3*x - 1     x  + 0*x + 9     \ 9 /   
------- = -------------- + ----------
  2             2               2    
 x  + 9                    /-x \     
                           |---|  + 1
                           \ 3 /
o
  /            
 |             
 | 3*x - 1     
 | ------- dx  
 |   2        =
 |  x  + 9     
 |             
/              
  
    /                                    
   |                                     
   |     1               /               
   | ---------- dx      |                
   |      2             |     2*x        
   | /-x \           3* | ------------ dx
   | |---|  + 1         |  2             
   | \ 3 /              | x  + 0*x + 9   
   |                    |                
  /                    /                 
- ---------------- + --------------------
         9                    2
En integral
    /               
   |                
   |     2*x        
3* | ------------ dx
   |  2             
   | x  + 0*x + 9   
   |                
  /                 
--------------------
         2
hacemos el cambio
     2
u = x
entonces
integral =
    /                       
   |                        
   |   1                    
3* | ----- du               
   | 9 + u                  
   |                        
  /             3*log(9 + u)
------------- = ------------
      2              2
hacemos cambio inverso
    /                               
   |                                
   |     2*x                        
3* | ------------ dx                
   |  2                             
   | x  + 0*x + 9                   
   |                        /     2\
  /                    3*log\9 + x /
-------------------- = -------------
         2                   2
En integral
   /              
  |               
  |     1         
- | ---------- dx 
  |      2        
  | /-x \         
  | |---|  + 1    
  | \ 3 /         
  |               
 /                
------------------
        9
hacemos el cambio
    -x 
v = ---
     3
entonces
integral =
   /                      
  |                       
  |   1                   
- | ------ dv             
  |      2                
  | 1 + v                 
  |                       
 /               -atan(v) 
-------------- = ---------
      9              9
hacemos cambio inverso
   /                          
  |                           
  |     1                     
- | ---------- dx             
  |      2                    
  | /-x \                     
  | |---|  + 1                
  | \ 3 /                 /x\ 
  |                  -atan|-| 
 /                        \3/ 
------------------ = ---------
        9                3
La solución:
        /x\                
    atan|-|        /     2\
        \3/   3*log\9 + x /
C - ------- + -------------
       3            2
Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                     /x\                
 |                  atan|-|        /     2\
 | 3*x - 1              \3/   3*log\9 + x /
 | ------- dx = C - ------- + -------------
 |   2                 3            2      
 |  x  + 9                                 
 |                                         
/
$$\int \frac{3 x - 1}{x^{2} + 9}\, dx = C + \frac{3 \log{\left(x^{2} + 9 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{x}{3} \right)}}{3}$$
Simplificar
Gráfica
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
  3*log(9)   atan(1/3)   3*log(10)
- -------- - --------- + ---------
     2           3           2
$$- \frac{3 \log{\left(9 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3} + \frac{3 \log{\left(10 \right)}}{2}$$ 
=
= 
  3*log(9)   atan(1/3)   3*log(10)
- -------- - --------- + ---------
     2           3           2
$$- \frac{3 \log{\left(9 \right)}}{2} - \frac{\operatorname{atan}{\left(\frac{1}{3} \right)}}{3} + \frac{3 \log{\left(10 \right)}}{2}$$ 
-3*log(9)/2 - atan(1/3)/3 + 3*log(10)/2
Respuesta numérica [src] 
0.0507905886878587
0.0507905886878587

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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