Integral de 1/cos⁴(x) dx

1. Vuelva a escribir el integrando:

   $\sec^{4}{\left(x \right)} = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)}$

2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(u^{2} + 1\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         El resultado es: $\frac{u^{3}}{3} + u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) \sec^{2}{\left(x \right)} = \tan^{2}{\left(x \right)} \sec^{2}{\left(x \right)} + \sec^{2}{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. que $u = \tan{\left(x \right)}$.

         Luego que $du = \left(\tan^{2}{\left(x \right)} + 1\right) dx$ y ponemos $du$:

         $\int u^{2}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      1. $\int \sec^{2}{\left(x \right)}\, dx = \tan{\left(x \right)}$

      El resultado es: $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\tan^{3}{\left(x \right)}}{3} + \tan{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$