Integral de (2x^1/3-3x^2)/x^2 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{9 u^{5} - 6}{u^{3}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{9 u^{5} - 6}{u^{3}}\, du = - \int \frac{9 u^{5} - 6}{u^{3}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{9 u^{5} - 6}{u^{3}} = 9 u^{2} - \frac{6}{u^{3}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 9 u^{2}\, du = 9 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $3 u^{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{6}{u^{3}}\right)\, du = - 6 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{u^{2}}$

            El resultado es: $3 u^{3} + \frac{3}{u^{2}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 3 u^{3} - \frac{3}{u^{2}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 3 x - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{2 \sqrt[3]{x} - 3 x^{2}}{x^{2}} = - \frac{- 2 \sqrt[3]{x} + 3 x^{2}}{x^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{- 2 \sqrt[3]{x} + 3 x^{2}}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{- 2 \sqrt[3]{x} + 3 x^{2}}{x^{2}}\, dx$

      1. que $u = \sqrt[3]{x}$.

         Luego que $du = \frac{dx}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ y ponemos $du$:

         $\int \frac{9 u^{5} - 6}{u^{3}}\, du$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{9 u^{5} - 6}{u^{3}} = 9 u^{2} - \frac{6}{u^{3}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int 9 u^{2}\, du = 9 \int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $3 u^{3}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{6}{u^{3}}\right)\, du = - 6 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{u^{2}}$

            El resultado es: $3 u^{3} + \frac{3}{u^{2}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $3 x + \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 3 x - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 3 x - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 3 x - \frac{3}{x^{\frac{2}{3}}}+ \mathrm{constant}$