Integral de tanx/sec³x dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{\sec^{3}{\left(x \right)}}$.

      Luego que $du = - \frac{3 \tan{\left(x \right)} dx}{\sec^{3}{\left(x \right)}}$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{1}{3}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u}{3}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{3 \sec^{3}{\left(x \right)}}$

   Método #2

   1. que $u = \sec^{3}{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = 3 \tan{\left(x \right)} \sec^{3}{\left(x \right)} dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

      $\int \frac{1}{3 u^{2}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \frac{\int \frac{1}{u^{2}}\, du}{3}$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{1}{3 u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{1}{3 \sec^{3}{\left(x \right)}}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{\cos^{3}{\left(x \right)}}{3}+ \mathrm{constant}$