Integral de 1/3sin3x-x dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- x\right)\, dx = - \int x\, dx$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{2}}{2}$

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{\sin{\left(3 x \right)}}{3}\, dx = \frac{\int \sin{\left(3 x \right)}\, dx}{3}$

      1. que $u = 3 x$.

         Luego que $du = 3 dx$ y ponemos $\frac{du}{3}$:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{3}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(u \right)}\, du}{3}$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(u \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}$

   El resultado es: $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{x^{2}}{2} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{x^{2}}{2} - \frac{\cos{\left(3 x \right)}}{9}+ \mathrm{constant}$