Integral de sinxlnx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \log{\left(x \right)}$.

      Luego que $du = \frac{dx}{x}$ y ponemos $du$:

      $\int u e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)}\, du$

      1. Usamos la integración por partes:

         $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

         que $u{\left(u \right)} = u$ y que $\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u} \sin{\left(e^{u} \right)}$.

         Entonces $\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1$.

         Para buscar $v{\left(u \right)}$:

         1. que $u = e^{u}$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \sin{\left(u \right)}\, du$

            1. La integral del seno es un coseno menos:

               $\int \sin{\left(u \right)}\, du = - \cos{\left(u \right)}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \cos{\left(e^{u} \right)}$

         Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \cos{\left(e^{u} \right)}\right)\, du = - \int \cos{\left(e^{u} \right)}\, du$

         1. que $u = e^{u}$.

            Luego que $du = e^{u} du$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{\cos{\left(u \right)}}{u}\, du$

            CiRule(a=1, b=0, context=cos(_u)/_u, symbol=_u)

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\operatorname{Ci}{\left(e^{u} \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{Ci}{\left(e^{u} \right)}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \operatorname{Ci}{\left(x \right)}$

   Método #2

   1. Usamos la integración por partes:

      $\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}$

      que $u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)}$ y que $\operatorname{dv}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)}$.

      Entonces $\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}$.

      Para buscar $v{\left(x \right)}$:

      1. La integral del seno es un coseno menos:

         $\int \sin{\left(x \right)}\, dx = - \cos{\left(x \right)}$

      Ahora resolvemos podintegral.

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\right)\, dx = - \int \frac{\cos{\left(x \right)}}{x}\, dx$

      CiRule(a=1, b=0, context=cos(x)/x, symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: $- \operatorname{Ci}{\left(x \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \operatorname{Ci}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \log{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + \operatorname{Ci}{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$