Sr Examen

Integral de 3xln4x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1                
  /                
 |                 
 |  3*x*log(4*x) dx
 |                 
/                  
0                  
013xlog(4x)dx\int\limits_{0}^{1} 3 x \log{\left(4 x \right)}\, dx
Integral((3*x)*log(4*x), (x, 0, 1))
Solución detallada
  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3xlog(4x)=3xlog(x)+6xlog(2)3 x \log{\left(4 x \right)} = 3 x \log{\left(x \right)} + 6 x \log{\left(2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        3xlog(x)dx=3xlog(x)dx\int 3 x \log{\left(x \right)}\, dx = 3 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ue2udu\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log(x)2x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x2log(x)23x24\frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        6xlog(2)dx=6log(2)xdx\int 6 x \log{\left(2 \right)}\, dx = 6 \log{\left(2 \right)} \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x2log(2)3 x^{2} \log{\left(2 \right)}

      El resultado es: 3x2log(x)23x24+3x2log(2)\frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} + 3 x^{2} \log{\left(2 \right)}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log(4x)u{\left(x \right)} = \log{\left(4 x \right)} y que dv(x)=3x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 3 x.

      Entonces du(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        3xdx=3xdx\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x22\frac{3 x^{2}}{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      3x2dx=3xdx2\int \frac{3 x}{2}\, dx = \frac{3 \int x\, dx}{2}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

        xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      Por lo tanto, el resultado es: 3x24\frac{3 x^{2}}{4}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      3xlog(4x)=3xlog(x)+6xlog(2)3 x \log{\left(4 x \right)} = 3 x \log{\left(x \right)} + 6 x \log{\left(2 \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        3xlog(x)dx=3xlog(x)dx\int 3 x \log{\left(x \right)}\, dx = 3 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ue2udu\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            udv=uvvdu\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            e2u2du=e2udu2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              eu2du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  eudu=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log(x)2x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x2log(x)23x24\frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        6xlog(2)dx=6log(2)xdx\int 6 x \log{\left(2 \right)}\, dx = 6 \log{\left(2 \right)} \int x\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n1n \neq -1:

          xdx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

        Por lo tanto, el resultado es: 3x2log(2)3 x^{2} \log{\left(2 \right)}

      El resultado es: 3x2log(x)23x24+3x2log(2)\frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} + 3 x^{2} \log{\left(2 \right)}

  2. Ahora simplificar:

    3x2(2log(x)1+log(16))4\frac{3 x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(16 \right)}\right)}{4}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x2(2log(x)1+log(16))4+constant\frac{3 x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(16 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}


Respuesta:

3x2(2log(x)1+log(16))4+constant\frac{3 x^{2} \left(2 \log{\left(x \right)} - 1 + \log{\left(16 \right)}\right)}{4}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src]
  /                         2                    2       
 |                       3*x       2          3*x *log(x)
 | 3*x*log(4*x) dx = C - ---- + 3*x *log(2) + -----------
 |                        4                        2     
/                                                        
3xlog(4x)dx=C+3x2log(x)23x24+3x2log(2)\int 3 x \log{\left(4 x \right)}\, dx = C + \frac{3 x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x^{2}}{4} + 3 x^{2} \log{\left(2 \right)}
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.905-5
Respuesta [src]
  3   3*log(4)
- - + --------
  4      2    
34+3log(4)2- \frac{3}{4} + \frac{3 \log{\left(4 \right)}}{2}
=
=
  3   3*log(4)
- - + --------
  4      2    
34+3log(4)2- \frac{3}{4} + \frac{3 \log{\left(4 \right)}}{2}
-3/4 + 3*log(4)/2
Respuesta numérica [src]
1.32944154167984
1.32944154167984

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.