Sr Examen

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Resolución de integrales/ (x)^1/3/ (1-x)/ ((1-x)^3)/x(x)^1/3

Integral de ((1-x)^3)/x(x)^1/3 dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                  
  /                  
 |                   
 |         3         
 |  (1 - x)  3 ___   
 |  --------*\/ x  dx
 |     x             
 |                   
/                    
0
∫01x3(1−x)3x dx\int\limits_{0}^{1} \sqrt[3]{x} \frac{\left(1 - x\right)^{3}}{x}\, dx 
Integral(((1 - x)^3/x)*x^(1/3), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=1xu = \frac{1}{x}.

      Luego que du=−dxx2du = - \frac{dx}{x^{2}} y ponemos −du- du:

      ∫(−u3(1u)43−3u2(1u)43+3u(1u)43−(1u)43u3) du\int \left(- \frac{u^{3} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} - 3 u^{2} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} + 3 u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} - \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{u^{3}}\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫u3(1u)43−3u2(1u)43+3u(1u)43−(1u)43u3 du=−∫u3(1u)43−3u2(1u)43+3u(1u)43−(1u)43u3 du\int \frac{u^{3} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} - 3 u^{2} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} + 3 u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} - \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{u^{3}}\, du = - \int \frac{u^{3} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} - 3 u^{2} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} + 3 u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} - \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{u^{3}}\, du

        1. que u=1uu = \frac{1}{u}.

          Luego que du=−duu2du = - \frac{du}{u^{2}} y ponemos dudu:

          ∫u3−3u2+3u−1u23 du\int \frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{u^{\frac{2}{3}}}\, du

          1. que u=1u23u = \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}.

            Luego que du=−2du3u53du = - \frac{2 du}{3 u^{\frac{5}{3}}} y ponemos du2\frac{du}{2}:

            ∫−9u152−3u92+3u9+9u62u212 du\int \frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{2 u^{\frac{21}{2}}}\, du

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫−9u152−3u92+3u9+9u6u212 du=∫−9u152−3u92+3u9+9u6u212 du2\int \frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{u^{\frac{21}{2}}}\, du = \frac{\int \frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{u^{\frac{21}{2}}}\, du}{2}

              1. Vuelva a escribir el integrando:

                −9u152−3u92+3u9+9u6u212=−9u3−3u6+3u32+9u92\frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{u^{\frac{21}{2}}} = - \frac{9}{u^{3}} - \frac{3}{u^{6}} + \frac{3}{u^{\frac{3}{2}}} + \frac{9}{u^{\frac{9}{2}}}

              2. Integramos término a término:

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−9u3) du=−9∫1u3 du\int \left(- \frac{9}{u^{3}}\right)\, du = - 9 \int \frac{1}{u^{3}}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

                  Por lo tanto, el resultado es: 92u2\frac{9}{2 u^{2}}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫(−3u6) du=−3∫1u6 du\int \left(- \frac{3}{u^{6}}\right)\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{6}}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u6 du=−15u5\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}

                  Por lo tanto, el resultado es: 35u5\frac{3}{5 u^{5}}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫3u32 du=3∫1u32 du\int \frac{3}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u32 du=−2u\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \frac{2}{\sqrt{u}}

                  Por lo tanto, el resultado es: −6u- \frac{6}{\sqrt{u}}

                1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  ∫9u92 du=9∫1u92 du\int \frac{9}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = 9 \int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du

                  1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                    ∫1u92 du=−27u72\int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = - \frac{2}{7 u^{\frac{7}{2}}}

                  Por lo tanto, el resultado es: −187u72- \frac{18}{7 u^{\frac{7}{2}}}

                El resultado es: 92u2+35u5−6u−187u72\frac{9}{2 u^{2}} + \frac{3}{5 u^{5}} - \frac{6}{\sqrt{u}} - \frac{18}{7 u^{\frac{7}{2}}}

              Por lo tanto, el resultado es: 94u2+310u5−3u−97u72\frac{9}{4 u^{2}} + \frac{3}{10 u^{5}} - \frac{3}{\sqrt{u}} - \frac{9}{7 u^{\frac{7}{2}}}

            Si ahora sustituir uu más en:

            3u10310−9u737+9u434−3u3\frac{3 u^{\frac{10}{3}}}{10} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{9 u^{\frac{4}{3}}}{4} - 3 \sqrt[3]{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          3(1u)10310−9(1u)737+9(1u)434−31u3\frac{3 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{10}{3}}}{10} - \frac{9 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{9 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{4} - 3 \sqrt[3]{\frac{1}{u}}

        Por lo tanto, el resultado es: −3(1u)10310+9(1u)737−9(1u)434+31u3- \frac{3 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{9 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{9 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{\frac{1}{u}}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −3x10310+9x737−9x434+3x3- \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{x}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x3(1−x)3x=−x3−3x2+3x−1x23\sqrt[3]{x} \frac{\left(1 - x\right)^{3}}{x} = - \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{\frac{2}{3}}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−x3−3x2+3x−1x23) dx=−∫x3−3x2+3x−1x23 dx\int \left(- \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{\frac{2}{3}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx

      1. que u=1x23u = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}.

        Luego que du=−2dx3x53du = - \frac{2 dx}{3 x^{\frac{5}{3}}} y ponemos du2\frac{du}{2}:

        ∫−9u152−3u92+3u9+9u62u212 du\int \frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{2 u^{\frac{21}{2}}}\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫−9u152−3u92+3u9+9u6u212 du=∫−9u152−3u92+3u9+9u6u212 du2\int \frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{u^{\frac{21}{2}}}\, du = \frac{\int \frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{u^{\frac{21}{2}}}\, du}{2}

          1. Vuelva a escribir el integrando:

            −9u152−3u92+3u9+9u6u212=−9u3−3u6+3u32+9u92\frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{u^{\frac{21}{2}}} = - \frac{9}{u^{3}} - \frac{3}{u^{6}} + \frac{3}{u^{\frac{3}{2}}} + \frac{9}{u^{\frac{9}{2}}}

          2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−9u3) du=−9∫1u3 du\int \left(- \frac{9}{u^{3}}\right)\, du = - 9 \int \frac{1}{u^{3}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u3 du=−12u2\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}

              Por lo tanto, el resultado es: 92u2\frac{9}{2 u^{2}}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫(−3u6) du=−3∫1u6 du\int \left(- \frac{3}{u^{6}}\right)\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{6}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u6 du=−15u5\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}

              Por lo tanto, el resultado es: 35u5\frac{3}{5 u^{5}}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫3u32 du=3∫1u32 du\int \frac{3}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u32 du=−2u\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \frac{2}{\sqrt{u}}

              Por lo tanto, el resultado es: −6u- \frac{6}{\sqrt{u}}

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

              ∫9u92 du=9∫1u92 du\int \frac{9}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = 9 \int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du

              1. Integral unu^{n} es un+1n+1\frac{u^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

                ∫1u92 du=−27u72\int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = - \frac{2}{7 u^{\frac{7}{2}}}

              Por lo tanto, el resultado es: −187u72- \frac{18}{7 u^{\frac{7}{2}}}

            El resultado es: 92u2+35u5−6u−187u72\frac{9}{2 u^{2}} + \frac{3}{5 u^{5}} - \frac{6}{\sqrt{u}} - \frac{18}{7 u^{\frac{7}{2}}}

          Por lo tanto, el resultado es: 94u2+310u5−3u−97u72\frac{9}{4 u^{2}} + \frac{3}{10 u^{5}} - \frac{3}{\sqrt{u}} - \frac{9}{7 u^{\frac{7}{2}}}

        Si ahora sustituir uu más en:

        3x10310−9x737+9x434−3x3\frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} - 3 \sqrt[3]{x}

      Por lo tanto, el resultado es: −3x10310+9x737−9x434+3x3- \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{x}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      x3(1−x)3x=−x73+3x43−3x3+1x23\sqrt[3]{x} \frac{\left(1 - x\right)^{3}}{x} = - x^{\frac{7}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} - 3 \sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−x73) dx=−∫x73 dx\int \left(- x^{\frac{7}{3}}\right)\, dx = - \int x^{\frac{7}{3}}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x73 dx=3x10310\int x^{\frac{7}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10}

        Por lo tanto, el resultado es: −3x10310- \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x43 dx=3∫x43 dx\int 3 x^{\frac{4}{3}}\, dx = 3 \int x^{\frac{4}{3}}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x43 dx=3x737\int x^{\frac{4}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}

        Por lo tanto, el resultado es: 9x737\frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−3x3) dx=−3∫x3 dx\int \left(- 3 \sqrt[3]{x}\right)\, dx = - 3 \int \sqrt[3]{x}\, dx

        1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

          ∫x3 dx=3x434\int \sqrt[3]{x}\, dx = \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: −9x434- \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫1x23 dx=3x3\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 3 \sqrt[3]{x}

      El resultado es: −3x10310+9x737−9x434+3x3- \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{x}

  2. Ahora simplificar:

    3x3(−14x3+60x2−105x+140)140\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(- 14 x^{3} + 60 x^{2} - 105 x + 140\right)}{140}

  3. Añadimos la constante de integración:

    3x3(−14x3+60x2−105x+140)140+constant\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(- 14 x^{3} + 60 x^{2} - 105 x + 140\right)}{140}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

3x3(−14x3+60x2−105x+140)140+constant\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(- 14 x^{3} + 60 x^{2} - 105 x + 140\right)}{140}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                           
 |                                                            
 |        3                             4/3      10/3      7/3
 | (1 - x)  3 ___            3 ___   9*x      3*x       9*x   
 | --------*\/ x  dx = C + 3*\/ x  - ------ - ------- + ------
 |    x                                4         10       7   
 |                                                            
/
∫x3(1−x)3x dx=C−3x10310+9x737−9x434+3x3\int \sqrt[3]{x} \frac{\left(1 - x\right)^{3}}{x}\, dx = C - \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{x}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900500
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
243
---
140
243140\frac{243}{140} 
=
= 
243
---
140
243140\frac{243}{140} 
243/140
Respuesta numérica [src] 
1.73571304572918
1.73571304572918

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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