Integral de ((1-x)^3)/x(x)^1/3 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x}$.

      Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

      $\int \left(- \frac{u^{3} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} - 3 u^{2} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} + 3 u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} - \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{u^{3}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{u^{3} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} - 3 u^{2} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} + 3 u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} - \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{u^{3}}\, du = - \int \frac{u^{3} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} - 3 u^{2} \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} + 3 u \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}} - \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{u^{3}}\, du$

         1. que $u = \frac{1}{u}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{u^{2}}$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{u^{3} - 3 u^{2} + 3 u - 1}{u^{\frac{2}{3}}}\, du$

            1. que $u = \frac{1}{u^{\frac{2}{3}}}$.

               Luego que $du = - \frac{2 du}{3 u^{\frac{5}{3}}}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

               $\int \frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{2 u^{\frac{21}{2}}}\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{u^{\frac{21}{2}}}\, du = \frac{\int \frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{u^{\frac{21}{2}}}\, du}{2}$

                  1. Vuelva a escribir el integrando:

                     $\frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{u^{\frac{21}{2}}} = - \frac{9}{u^{3}} - \frac{3}{u^{6}} + \frac{3}{u^{\frac{3}{2}}} + \frac{9}{u^{\frac{9}{2}}}$

                  2. Integramos término a término:

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{9}{u^{3}}\right)\, du = - 9 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9}{2 u^{2}}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \left(- \frac{3}{u^{6}}\right)\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{5 u^{5}}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{3}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \frac{2}{\sqrt{u}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6}{\sqrt{u}}$

                     1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                        $\int \frac{9}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = 9 \int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du$

                        1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                           $\int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = - \frac{2}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

                        Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{18}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

                     El resultado es: $\frac{9}{2 u^{2}} + \frac{3}{5 u^{5}} - \frac{6}{\sqrt{u}} - \frac{18}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9}{4 u^{2}} + \frac{3}{10 u^{5}} - \frac{3}{\sqrt{u}} - \frac{9}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{3 u^{\frac{10}{3}}}{10} - \frac{9 u^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{9 u^{\frac{4}{3}}}{4} - 3 \sqrt[3]{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{10}{3}}}{10} - \frac{9 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{9 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{4} - 3 \sqrt[3]{\frac{1}{u}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{9 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{9 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{4}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{\frac{1}{u}}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt[3]{x} \frac{\left(1 - x\right)^{3}}{x} = - \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{\frac{2}{3}}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{\frac{2}{3}}}\right)\, dx = - \int \frac{x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$.

         Luego que $du = - \frac{2 dx}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

         $\int \frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{2 u^{\frac{21}{2}}}\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{u^{\frac{21}{2}}}\, du = \frac{\int \frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{u^{\frac{21}{2}}}\, du}{2}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\frac{- 9 u^{\frac{15}{2}} - 3 u^{\frac{9}{2}} + 3 u^{9} + 9 u^{6}}{u^{\frac{21}{2}}} = - \frac{9}{u^{3}} - \frac{3}{u^{6}} + \frac{3}{u^{\frac{3}{2}}} + \frac{9}{u^{\frac{9}{2}}}$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{9}{u^{3}}\right)\, du = - 9 \int \frac{1}{u^{3}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{3}}\, du = - \frac{1}{2 u^{2}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9}{2 u^{2}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- \frac{3}{u^{6}}\right)\, du = - 3 \int \frac{1}{u^{6}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{6}}\, du = - \frac{1}{5 u^{5}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{5 u^{5}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{3}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = 3 \int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{3}{2}}}\, du = - \frac{2}{\sqrt{u}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{6}{\sqrt{u}}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{9}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = 9 \int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = - \frac{2}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{18}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

               El resultado es: $\frac{9}{2 u^{2}} + \frac{3}{5 u^{5}} - \frac{6}{\sqrt{u}} - \frac{18}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9}{4 u^{2}} + \frac{3}{10 u^{5}} - \frac{3}{\sqrt{u}} - \frac{9}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} - \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7} + \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} - 3 \sqrt[3]{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{x}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sqrt[3]{x} \frac{\left(1 - x\right)^{3}}{x} = - x^{\frac{7}{3}} + 3 x^{\frac{4}{3}} - 3 \sqrt[3]{x} + \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- x^{\frac{7}{3}}\right)\, dx = - \int x^{\frac{7}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{7}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 3 x^{\frac{4}{3}}\, dx = 3 \int x^{\frac{4}{3}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{\frac{4}{3}}\, dx = \frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 3 \sqrt[3]{x}\right)\, dx = - 3 \int \sqrt[3]{x}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \sqrt[3]{x}\, dx = \frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4}$

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 3 \sqrt[3]{x}$

      El resultado es: $- \frac{3 x^{\frac{10}{3}}}{10} + \frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7} - \frac{9 x^{\frac{4}{3}}}{4} + 3 \sqrt[3]{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(- 14 x^{3} + 60 x^{2} - 105 x + 140\right)}{140}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(- 14 x^{3} + 60 x^{2} - 105 x + 140\right)}{140}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{3 \sqrt[3]{x} \left(- 14 x^{3} + 60 x^{2} - 105 x + 140\right)}{140}+ \mathrm{constant}$