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Resolución de integrales/ 5-x^2/ 4e^x-(5/(√25-x^2))

Integral de 4e^x-(5/(√25-x^2)) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                        
  /                        
 |                         
 |  /   x        5     \   
 |  |4*E  - -----------| dx
 |  |         ____    2|   
 |  \       \/ 25  - x /   
 |                         
/                          
0
∫01(4ex−5−x2+25) dx\int\limits_{0}^{1} \left(4 e^{x} - \frac{5}{- x^{2} + \sqrt{25}}\right)\, dx 
Integral(4*E^x - 5/(sqrt(25) - x^2), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Integramos término a término:

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫4ex dx=4∫ex dx\int 4 e^{x}\, dx = 4 \int e^{x}\, dx

      1. La integral de la función exponencial es la mesma.

        ∫ex dx=ex\int e^{x}\, dx = e^{x}

      Por lo tanto, el resultado es: 4ex4 e^{x}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−5−x2+25) dx=−5∫1−x2+25 dx\int \left(- \frac{5}{- x^{2} + \sqrt{25}}\right)\, dx = - 5 \int \frac{1}{- x^{2} + \sqrt{25}}\, dx

        PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=-1, c=sqrt(25), context=1/(-x**2 + sqrt(25)), symbol=x), False), (ArccothRule(a=1, b=-1, c=sqrt(25), context=1/(-x**2 + sqrt(25)), symbol=x), x**2 > 5), (ArctanhRule(a=1, b=-1, c=sqrt(25), context=1/(-x**2 + sqrt(25)), symbol=x), x**2 < 5)], context=1/(-x**2 + sqrt(25)), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: −5({5acoth⁡(5x5)5for x2>55atanh⁡(5x5)5for x2<5)- 5 \left(\begin{cases} \frac{\sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\\frac{\sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}\right)

    El resultado es: −5({5acoth⁡(5x5)5for x2>55atanh⁡(5x5)5for x2<5)+4ex- 5 \left(\begin{cases} \frac{\sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\\frac{\sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}\right) + 4 e^{x}

  2. Ahora simplificar:

    {4ex−5acoth⁡(5x5)for x2>54ex−5atanh⁡(5x5)for x2<5\begin{cases} 4 e^{x} - \sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\4 e^{x} - \sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}

  3. Añadimos la constante de integración:

    {4ex−5acoth⁡(5x5)for x2>54ex−5atanh⁡(5x5)for x2<5+constant\begin{cases} 4 e^{x} - \sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\4 e^{x} - \sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

{4ex−5acoth⁡(5x5)for x2>54ex−5atanh⁡(5x5)for x2<5+constant\begin{cases} 4 e^{x} - \sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\4 e^{x} - \sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
                                   //           /    ___\            \       
                                   ||  ___      |x*\/ 5 |            |       
                                   ||\/ 5 *acoth|-------|            |       
  /                                ||           \   5   /       2    |       
 |                                 ||--------------------  for x  > 5|       
 | /   x        5     \            ||         5                      |      x
 | |4*E  - -----------| dx = C - 5*|<                                | + 4*e 
 | |         ____    2|            ||           /    ___\            |       
 | \       \/ 25  - x /            ||  ___      |x*\/ 5 |            |       
 |                                 ||\/ 5 *atanh|-------|            |       
/                                  ||           \   5   /       2    |       
                                   ||--------------------  for x  < 5|       
                                   \\         5                      /
∫(4ex−5−x2+25) dx=C−5({5acoth⁡(5x5)5for x2>55atanh⁡(5x5)5for x2<5)+4ex\int \left(4 e^{x} - \frac{5}{- x^{2} + \sqrt{25}}\right)\, dx = C - 5 \left(\begin{cases} \frac{\sqrt{5} \operatorname{acoth}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} > 5 \\\frac{\sqrt{5} \operatorname{atanh}{\left(\frac{\sqrt{5} x}{5} \right)}}{5} & \text{for}\: x^{2} < 5 \end{cases}\right) + 4 e^{x}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
             ___ /          /       ___\\     ___    /  ___\     ___ /          /  ___\\     ___    /      ___\
           \/ 5 *\pi*I + log\-1 + \/ 5 //   \/ 5 *log\\/ 5 /   \/ 5 *\pi*I + log\\/ 5 //   \/ 5 *log\1 + \/ 5 /
-4 + 4*E + ------------------------------ + ---------------- - ------------------------- - --------------------
                         2                         2                       2                        2
−4−5log⁡(1+5)2+5log⁡(5)2+4e−5(log⁡(5)+iπ)2+5(log⁡(−1+5)+iπ)2-4 - \frac{\sqrt{5} \log{\left(1 + \sqrt{5} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{5} \log{\left(\sqrt{5} \right)}}{2} + 4 e - \frac{\sqrt{5} \left(\log{\left(\sqrt{5} \right)} + i \pi\right)}{2} + \frac{\sqrt{5} \left(\log{\left(-1 + \sqrt{5} \right)} + i \pi\right)}{2} 
=
= 
             ___ /          /       ___\\     ___    /  ___\     ___ /          /  ___\\     ___    /      ___\
           \/ 5 *\pi*I + log\-1 + \/ 5 //   \/ 5 *log\\/ 5 /   \/ 5 *\pi*I + log\\/ 5 //   \/ 5 *log\1 + \/ 5 /
-4 + 4*E + ------------------------------ + ---------------- - ------------------------- - --------------------
                         2                         2                       2                        2
−4−5log⁡(1+5)2+5log⁡(5)2+4e−5(log⁡(5)+iπ)2+5(log⁡(−1+5)+iπ)2-4 - \frac{\sqrt{5} \log{\left(1 + \sqrt{5} \right)}}{2} + \frac{\sqrt{5} \log{\left(\sqrt{5} \right)}}{2} + 4 e - \frac{\sqrt{5} \left(\log{\left(\sqrt{5} \right)} + i \pi\right)}{2} + \frac{\sqrt{5} \left(\log{\left(-1 + \sqrt{5} \right)} + i \pi\right)}{2} 
-4 + 4*E + sqrt(5)*(pi*i + log(-1 + sqrt(5)))/2 + sqrt(5)*log(sqrt(5))/2 - sqrt(5)*(pi*i + log(sqrt(5)))/2 - sqrt(5)*log(1 + sqrt(5))/2
Respuesta numérica [src] 
5.79710496142617
5.79710496142617

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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