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Resolución de integrales/ ln(x)/ x^3*ln(x)

Integral de x^3*ln(x) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  0             
  /             
 |              
 |   3          
 |  x *log(x) dx
 |              
/               
0
∫00x3log⁡(x) dx\int\limits_{0}^{0} x^{3} \log{\left(x \right)}\, dx 
Integral(x^3*log(x), (x, 0, 0))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫ue4u du\int u e^{4 u}\, du

      1. Usamos la integración por partes:

        ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

        que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e4u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{4 u}.

        Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

        Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

        1. que u=4uu = 4 u.

          Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

        Ahora resolvemos podintegral.

      2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫e4u4 du=∫e4u du4\int \frac{e^{4 u}}{4}\, du = \frac{\int e^{4 u}\, du}{4}

        1. que u=4uu = 4 u.

          Luego que du=4dudu = 4 du y ponemos du4\frac{du}{4}:

          ∫eu4 du\int \frac{e^{u}}{4}\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: eu4\frac{e^{u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          e4u4\frac{e^{4 u}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: e4u16\frac{e^{4 u}}{16}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x4log⁡(x)4−x416\frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}

    Método #2

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=x3\operatorname{dv}{\left(x \right)} = x^{3}.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫x34 dx=∫x3 dx4\int \frac{x^{3}}{4}\, dx = \frac{\int x^{3}\, dx}{4}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x3 dx=x44\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}

      Por lo tanto, el resultado es: x416\frac{x^{4}}{16}

  2. Ahora simplificar:

    x4(4log⁡(x)−1)16\frac{x^{4} \left(4 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{16}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x4(4log⁡(x)−1)16+constant\frac{x^{4} \left(4 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x4(4log⁡(x)−1)16+constant\frac{x^{4} \left(4 \log{\left(x \right)} - 1\right)}{16}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                 
 |                     4    4       
 |  3                 x    x *log(x)
 | x *log(x) dx = C - -- + ---------
 |                    16       4    
/
∫x3log⁡(x) dx=C+x4log⁡(x)4−x416\int x^{3} \log{\left(x \right)}\, dx = C + \frac{x^{4} \log{\left(x \right)}}{4} - \frac{x^{4}}{16}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.900.02-0.02
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
0
00 
=
= 
0
00 
0
Respuesta numérica [src] 
0.0
0.0

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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