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Resolución de integrales/ x^2+y/ 36xy*e^(-3(x^2+y^2))

Integral de 36xy*e^(-3(x^2+y^2)) dy

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
 oo                        
  /                        
 |                         
 |             / 2    2\   
 |          -3*\x  + y /   
 |  36*x*y*E             dy
 |                         
/                          
0
∫0∞e−3(x2+y2)36xy dy\int\limits_{0}^{\infty} e^{- 3 \left(x^{2} + y^{2}\right)} 36 x y\, dy 
Integral(((36*x)*y)*E^(-3*(x^2 + y^2)), (y, 0, oo))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=e−3(x2+y2)u = e^{- 3 \left(x^{2} + y^{2}\right)}.

      Luego que du=−6ye−3x2−3y2dydu = - 6 y e^{- 3 x^{2} - 3 y^{2}} dy y ponemos −6dux- 6 du x:

      ∫(−6x) du\int \left(- 6 x\right)\, du

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫1 du=−6x∫1 du\int 1\, du = - 6 x \int 1\, du

        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

          ∫1 du=u\int 1\, du = u

        Por lo tanto, el resultado es: −6ux- 6 u x

      Si ahora sustituir uu más en:

      −6xe−3x2−3y2- 6 x e^{- 3 x^{2} - 3 y^{2}}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e−3(x2+y2)36xy=36xye−3x2e−3y2e^{- 3 \left(x^{2} + y^{2}\right)} 36 x y = 36 x y e^{- 3 x^{2}} e^{- 3 y^{2}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫36xye−3x2e−3y2 dy=36xe−3x2∫ye−3y2 dy\int 36 x y e^{- 3 x^{2}} e^{- 3 y^{2}}\, dy = 36 x e^{- 3 x^{2}} \int y e^{- 3 y^{2}}\, dy

      1. que u=−3y2u = - 3 y^{2}.

        Luego que du=−6ydydu = - 6 y dy y ponemos −du6- \frac{du}{6}:

        ∫(−eu6) du\int \left(- \frac{e^{u}}{6}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −eu6- \frac{e^{u}}{6}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −e−3y26- \frac{e^{- 3 y^{2}}}{6}

      Por lo tanto, el resultado es: −6xe−3x2e−3y2- 6 x e^{- 3 x^{2}} e^{- 3 y^{2}}

    Método #3

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e−3(x2+y2)36xy=36xye−3x2e−3y2e^{- 3 \left(x^{2} + y^{2}\right)} 36 x y = 36 x y e^{- 3 x^{2}} e^{- 3 y^{2}}

    2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫36xye−3x2e−3y2 dy=36xe−3x2∫ye−3y2 dy\int 36 x y e^{- 3 x^{2}} e^{- 3 y^{2}}\, dy = 36 x e^{- 3 x^{2}} \int y e^{- 3 y^{2}}\, dy

      1. que u=−3y2u = - 3 y^{2}.

        Luego que du=−6ydydu = - 6 y dy y ponemos −du6- \frac{du}{6}:

        ∫(−eu6) du\int \left(- \frac{e^{u}}{6}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          False\text{False}

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −eu6- \frac{e^{u}}{6}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −e−3y26- \frac{e^{- 3 y^{2}}}{6}

      Por lo tanto, el resultado es: −6xe−3x2e−3y2- 6 x e^{- 3 x^{2}} e^{- 3 y^{2}}

  2. Añadimos la constante de integración:

    −6xe−3x2−3y2+constant- 6 x e^{- 3 x^{2} - 3 y^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−6xe−3x2−3y2+constant- 6 x e^{- 3 x^{2} - 3 y^{2}}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                
 |                                                 
 |            / 2    2\                    2      2
 |         -3*\x  + y /               - 3*x  - 3*y 
 | 36*x*y*E             dy = C - 6*x*e             
 |                                                 
/
∫e−3(x2+y2)36xy dy=C−6xe−3x2−3y2\int e^{- 3 \left(x^{2} + y^{2}\right)} 36 x y\, dy = C - 6 x e^{- 3 x^{2} - 3 y^{2}}
Simplificar
Respuesta [src] 
         2
     -3*x 
6*x*e
6xe−3x26 x e^{- 3 x^{2}} 
=
= 
         2
     -3*x 
6*x*e
6xe−3x26 x e^{- 3 x^{2}} 
6*x*exp(-3*x^2)

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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