Integral de 36xy*e^(-3(x^2+y^2)) dy

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = e^{- 3 \left(x^{2} + y^{2}\right)}$.

      Luego que $du = - 6 y e^{- 3 x^{2} - 3 y^{2}} dy$ y ponemos $- 6 du x$:

      $\int \left(- 6 x\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1\, du = - 6 x \int 1\, du$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 6 u x$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- 6 x e^{- 3 x^{2} - 3 y^{2}}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- 3 \left(x^{2} + y^{2}\right)} 36 x y = 36 x y e^{- 3 x^{2}} e^{- 3 y^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 36 x y e^{- 3 x^{2}} e^{- 3 y^{2}}\, dy = 36 x e^{- 3 x^{2}} \int y e^{- 3 y^{2}}\, dy$

      1. que $u = - 3 y^{2}$.

         Luego que $du = - 6 y dy$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{6}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- 3 y^{2}}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 6 x e^{- 3 x^{2}} e^{- 3 y^{2}}$

   Método #3

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $e^{- 3 \left(x^{2} + y^{2}\right)} 36 x y = 36 x y e^{- 3 x^{2}} e^{- 3 y^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int 36 x y e^{- 3 x^{2}} e^{- 3 y^{2}}\, dy = 36 x e^{- 3 x^{2}} \int y e^{- 3 y^{2}}\, dy$

      1. que $u = - 3 y^{2}$.

         Luego que $du = - 6 y dy$ y ponemos $- \frac{du}{6}$:

         $\int \left(- \frac{e^{u}}{6}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\text{False}$

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

               $\int e^{u}\, du = e^{u}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{e^{u}}{6}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{e^{- 3 y^{2}}}{6}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- 6 x e^{- 3 x^{2}} e^{- 3 y^{2}}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 6 x e^{- 3 x^{2} - 3 y^{2}}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 6 x e^{- 3 x^{2} - 3 y^{2}}+ \mathrm{constant}$