Integral de x*(35*x^4-30*x^2+3)/8 dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int \frac{x \left(\left(35 x^{4} - 30 x^{2}\right) + 3\right)}{8}\, dx = \frac{\int x \left(\left(35 x^{4} - 30 x^{2}\right) + 3\right)\, dx}{8}$

   1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = x^{2}$.

         Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

         $\int \left(\frac{35 u^{2}}{2} - 15 u + \frac{3}{2}\right)\, du$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{35 u^{2}}{2}\, du = \frac{35 \int u^{2}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{35 u^{3}}{6}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 15 u\right)\, du = - 15 \int u\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{15 u^{2}}{2}$

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int \frac{3}{2}\, du = \frac{3 u}{2}$

            El resultado es: $\frac{35 u^{3}}{6} - \frac{15 u^{2}}{2} + \frac{3 u}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{35 x^{6}}{6} - \frac{15 x^{4}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2}$

      Método #2

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $x \left(\left(35 x^{4} - 30 x^{2}\right) + 3\right) = 35 x^{5} - 30 x^{3} + 3 x$

      2. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 35 x^{5}\, dx = 35 \int x^{5}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{35 x^{6}}{6}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- 30 x^{3}\right)\, dx = - 30 \int x^{3}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{15 x^{4}}{2}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 3 x\, dx = 3 \int x\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3 x^{2}}{2}$

         El resultado es: $\frac{35 x^{6}}{6} - \frac{15 x^{4}}{2} + \frac{3 x^{2}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $\frac{35 x^{6}}{48} - \frac{15 x^{4}}{16} + \frac{3 x^{2}}{16}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(35 x^{4} - 45 x^{2} + 9\right)}{48}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(35 x^{4} - 45 x^{2} + 9\right)}{48}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(35 x^{4} - 45 x^{2} + 9\right)}{48}+ \mathrm{constant}$