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Resolución de integrales/ (x^4)/ /(x^4-1)/ (x^4)/(x^4-1)

Integral de (x^4)/(x^4-1) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1          
  /          
 |           
 |     4     
 |    x      
 |  ------ dx
 |   4       
 |  x  - 1   
 |           
/            
0
∫01x4x4−1 dx\int\limits_{0}^{1} \frac{x^{4}}{x^{4} - 1}\, dx 
Integral(x^4/(x^4 - 1), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Vuelva a escribir el integrando:

    x4x4−1=1−12(x2+1)−14(x+1)+14(x−1)\frac{x^{4}}{x^{4} - 1} = 1 - \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)} - \frac{1}{4 \left(x + 1\right)} + \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}

  2. Integramos término a término:

    1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

      ∫1 dx=x\int 1\, dx = x

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−12(x2+1)) dx=−∫1x2+1 dx2\int \left(- \frac{1}{2 \left(x^{2} + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x^{2} + 1}\, dx}{2}

        PieceweseRule(subfunctions=[(ArctanRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), True), (ArccothRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False), (ArctanhRule(a=1, b=1, c=1, context=1/(x**2 + 1), symbol=x), False)], context=1/(x**2 + 1), symbol=x)

      Por lo tanto, el resultado es: −atan⁡(x)2- \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫(−14(x+1)) dx=−∫1x+1 dx4\int \left(- \frac{1}{4 \left(x + 1\right)}\right)\, dx = - \frac{\int \frac{1}{x + 1}\, dx}{4}

      1. que u=x+1u = x + 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x+1)\log{\left(x + 1 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: −log⁡(x+1)4- \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4}

    1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      ∫14(x−1) dx=∫1x−1 dx4\int \frac{1}{4 \left(x - 1\right)}\, dx = \frac{\int \frac{1}{x - 1}\, dx}{4}

      1. que u=x−1u = x - 1.

        Luego que du=dxdu = dx y ponemos dudu:

        ∫1u du\int \frac{1}{u}\, du

        1. Integral 1u\frac{1}{u} es log⁡(u)\log{\left(u \right)}.

        Si ahora sustituir uu más en:

        log⁡(x−1)\log{\left(x - 1 \right)}

      Por lo tanto, el resultado es: log⁡(x−1)4\frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4}

    El resultado es: x+log⁡(x−1)4−log⁡(x+1)4−atan⁡(x)2x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}

  3. Añadimos la constante de integración:

    x+log⁡(x−1)4−log⁡(x+1)4−atan⁡(x)2+constantx + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x+log⁡(x−1)4−log⁡(x+1)4−atan⁡(x)2+constantx + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                      
 |                                                       
 |    4                                                  
 |   x                 atan(x)   log(1 + x)   log(-1 + x)
 | ------ dx = C + x - ------- - ---------- + -----------
 |  4                     2          4             4     
 | x  - 1                                                
 |                                                       
/
∫x4x4−1 dx=C+x+log⁡(x−1)4−log⁡(x+1)4−atan⁡(x)2\int \frac{x^{4}}{x^{4} - 1}\, dx = C + x + \frac{\log{\left(x - 1 \right)}}{4} - \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{4} - \frac{\operatorname{atan}{\left(x \right)}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-40002000
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
      pi*I
-oo - ----
       4
−∞−iπ4-\infty - \frac{i \pi}{4} 
=
= 
      pi*I
-oo - ----
       4
−∞−iπ4-\infty - \frac{i \pi}{4} 
-oo - pi*i/4
Respuesta numérica [src] 
-10.5887250733929
-10.5887250733929

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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