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Resolución de integrales/ x^2-2/ -2x+5/ (x^2-2x+5)e^-x

Integral de (x^2-2x+5)e^-x dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                      
  /                      
 |                       
 |  / 2          \  -x   
 |  \x  - 2*x + 5/*E   dx
 |                       
/                        
0
∫01e−x((x2−2x)+5) dx\int\limits_{0}^{1} e^{- x} \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 5\right)\, dx 
Integral((x^2 - 2*x + 5)*E^(-x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=−xu = - x.

      Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

      ∫(−u2eu−2ueu−5eu) du\int \left(- u^{2} e^{u} - 2 u e^{u} - 5 e^{u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−u2eu) du=−∫u2eu du\int \left(- u^{2} e^{u}\right)\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2eu du=2∫eu du\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −u2eu+2ueu−2eu- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−2ueu) du=−2∫ueu du\int \left(- 2 u e^{u}\right)\, du = - 2 \int u e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −2ueu+2eu- 2 u e^{u} + 2 e^{u}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫(−5eu) du=−5∫eu du\int \left(- 5 e^{u}\right)\, du = - 5 \int e^{u}\, du

          1. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −5eu- 5 e^{u}

        El resultado es: −u2eu−5eu- u^{2} e^{u} - 5 e^{u}

      Si ahora sustituir uu más en:

      −x2e−x−5e−x- x^{2} e^{- x} - 5 e^{- x}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      e−x((x2−2x)+5)=x2e−x−2xe−x+5e−xe^{- x} \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 5\right) = x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} + 5 e^{- x}

    2. Integramos término a término:

      1. que u=−xu = - x.

        Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

        ∫(−u2eu) du\int \left(- u^{2} e^{u}\right)\, du

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫u2eu du=−∫u2eu du\int u^{2} e^{u}\, du = - \int u^{2} e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=u2u{\left(u \right)} = u^{2} y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2u\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2 u.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=2uu{\left(u \right)} = 2 u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=2\operatorname{du}{\left(u \right)} = 2.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          3. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫2eu du=2∫eu du\int 2 e^{u}\, du = 2 \int e^{u}\, du

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: 2eu2 e^{u}

          Por lo tanto, el resultado es: −u2eu+2ueu−2eu- u^{2} e^{u} + 2 u e^{u} - 2 e^{u}

        Si ahora sustituir uu más en:

        −x2e−x−2xe−x−2e−x- x^{2} e^{- x} - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫(−2xe−x) dx=−2∫xe−x dx\int \left(- 2 x e^{- x}\right)\, dx = - 2 \int x e^{- x}\, dx

        1. que u=−xu = - x.

          Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos dudu:

          ∫ueu du\int u e^{u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=eu\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral de la función exponencial es la mesma.

            ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −xe−x−e−x- x e^{- x} - e^{- x}

        Por lo tanto, el resultado es: 2xe−x+2e−x2 x e^{- x} + 2 e^{- x}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫5e−x dx=5∫e−x dx\int 5 e^{- x}\, dx = 5 \int e^{- x}\, dx

        1. que u=−xu = - x.

          Luego que du=−dxdu = - dx y ponemos −du- du:

          ∫(−eu) du\int \left(- e^{u}\right)\, du

          1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            False\text{False}

            1. La integral de la función exponencial es la mesma.

              ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

            Por lo tanto, el resultado es: −eu- e^{u}

          Si ahora sustituir uu más en:

          −e−x- e^{- x}

        Por lo tanto, el resultado es: −5e−x- 5 e^{- x}

      El resultado es: −x2e−x−5e−x- x^{2} e^{- x} - 5 e^{- x}

  2. Ahora simplificar:

    −(x2+5)e−x- \left(x^{2} + 5\right) e^{- x}

  3. Añadimos la constante de integración:

    −(x2+5)e−x+constant- \left(x^{2} + 5\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}

Respuesta:

−(x2+5)e−x+constant- \left(x^{2} + 5\right) e^{- x}+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                          
 |                                           
 | / 2          \  -x             -x    2  -x
 | \x  - 2*x + 5/*E   dx = C - 5*e   - x *e  
 |                                           
/
∫e−x((x2−2x)+5) dx=C−x2e−x−5e−x\int e^{- x} \left(\left(x^{2} - 2 x\right) + 5\right)\, dx = C - x^{2} e^{- x} - 5 e^{- x}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.90-1010
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
       -1
5 - 6*e
5−6e5 - \frac{6}{e} 
=
= 
       -1
5 - 6*e
5−6e5 - \frac{6}{e} 
5 - 6*exp(-1)
Respuesta numérica [src] 
2.79272335297135
2.79272335297135

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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