Integral de 1/(x^2-x^3) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{- x^{3} + x^{2}} = - \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{1}{x - 1}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x - 1}\, dx$

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x - 1 \right)}$

      1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

      1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

         $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

      El resultado es: $\log{\left(x \right)} - \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{1}{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{1}{- x^{3} + x^{2}} = - \frac{1}{x^{3} - x^{2}}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{1}{x^{3} - x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{3} - x^{2}}\, dx$

      1. Vuelva a escribir el integrando:

         $\frac{1}{x^{3} - x^{2}} = \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}}$

      2. Integramos término a término:

         1. que $u = x - 1$.

            Luego que $du = dx$ y ponemos $du$:

            $\int \frac{1}{u}\, du$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\log{\left(x - 1 \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x}\, dx$

            1. Integral $\frac{1}{x}$ es $\log{\left(x \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \log{\left(x \right)}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx = - \int \frac{1}{x^{2}}\, dx$

            1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int \frac{1}{x^{2}}\, dx = - \frac{1}{x}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{1}{x}$

         El resultado es: $- \log{\left(x \right)} + \log{\left(x - 1 \right)} + \frac{1}{x}$

      Por lo tanto, el resultado es: $\log{\left(x \right)} - \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{1}{x}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\log{\left(x \right)} - \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\log{\left(x \right)} - \log{\left(x - 1 \right)} - \frac{1}{x}+ \mathrm{constant}$