Integral de (sin5x)/(cos5x)^(1/2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 x$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{5 \sqrt{\cos{\left(u \right)}}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\sqrt{\cos{\left(u \right)}}}\, du = \frac{\int \frac{\sin{\left(u \right)}}{\sqrt{\cos{\left(u \right)}}}\, du}{5}$

         1. que $u = \cos{\left(u \right)}$.

            Luego que $du = - \sin{\left(u \right)} du$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{1}{\sqrt{u}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = - \int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{\sqrt{u}}\, du = 2 \sqrt{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \sqrt{u}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- 2 \sqrt{\cos{\left(u \right)}}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \sqrt{\cos{\left(u \right)}}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \sqrt{\cos{\left(5 x \right)}}}{5}$

   Método #2

   1. que $u = \sqrt{\cos{\left(5 x \right)}}$.

      Luego que $du = - \frac{5 \sin{\left(5 x \right)} dx}{2 \sqrt{\cos{\left(5 x \right)}}}$ y ponemos $- \frac{2 du}{5}$:

      $\int \left(- \frac{2}{5}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\text{False}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 1\, du = u$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 u}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{2 \sqrt{\cos{\left(5 x \right)}}}{5}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{2 \sqrt{\cos{\left(5 x \right)}}}{5}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{2 \sqrt{\cos{\left(5 x \right)}}}{5}+ \mathrm{constant}$