Sr Examen

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Integral de (2x+3)/(5x^2+2) dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
  1            
  /            
 |             
 |  2*x + 3    
 |  -------- dx
 |     2       
 |  5*x  + 2   
 |             
/              
0              
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x + 3}{5 x^{2} + 2}\, dx$$
Integral((2*x + 3)/(5*x^2 + 2), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
  /           
 |            
 | 2*x + 3    
 | -------- dx
 |    2       
 | 5*x  + 2   
 |            
/             
Reescribimos la función subintegral
           /    5*2*x     \                    
           |--------------|          /3\       
           |   2          |          |-|       
2*x + 3    \5*x  + 0*x + 2/          \2/       
-------- = ---------------- + -----------------
   2              5                       2    
5*x  + 2                      /   ____   \     
                              |-\/ 10    |     
                              |--------*x|  + 1
                              \   2      /     
o
  /             
 |              
 | 2*x + 3      
 | -------- dx  
 |    2        =
 | 5*x  + 2     
 |              
/               
  
                           /                    
                          |                     
                          |         1           
  /                    3* | ----------------- dx
 |                        |             2       
 |     5*2*x              | /   ____   \        
 | -------------- dx      | |-\/ 10    |        
 |    2                   | |--------*x|  + 1   
 | 5*x  + 0*x + 2         | \   2      /        
 |                        |                     
/                        /                      
-------------------- + -------------------------
         5                         2            
En integral
  /                 
 |                  
 |     5*2*x        
 | -------------- dx
 |    2             
 | 5*x  + 0*x + 2   
 |                  
/                   
--------------------
         5          
hacemos el cambio
       2
u = 5*x 
entonces
integral =
  /                     
 |                      
 |   1                  
 | ----- du             
 | 2 + u                
 |                      
/             log(2 + u)
----------- = ----------
     5            5     
hacemos cambio inverso
  /                                 
 |                                  
 |     5*2*x                        
 | -------------- dx                
 |    2                             
 | 5*x  + 0*x + 2                   
 |                        /       2\
/                      log\2 + 5*x /
-------------------- = -------------
         5                   5      
En integral
    /                    
   |                     
   |         1           
3* | ----------------- dx
   |             2       
   | /   ____   \        
   | |-\/ 10    |        
   | |--------*x|  + 1   
   | \   2      /        
   |                     
  /                      
-------------------------
            2            
hacemos el cambio
         ____ 
    -x*\/ 10  
v = ----------
        2     
entonces
integral =
    /                     
   |                      
   |   1                  
3* | ------ dv            
   |      2               
   | 1 + v                
   |                      
  /              3*atan(v)
-------------- = ---------
      2              2    
hacemos cambio inverso
    /                                              
   |                                               
   |         1                                     
3* | ----------------- dx                          
   |             2                                 
   | /   ____   \                                  
   | |-\/ 10    |                                  
   | |--------*x|  + 1                   /    ____\
   | \   2      /               ____     |x*\/ 10 |
   |                        3*\/ 10 *atan|--------|
  /                                      \   2    /
------------------------- = -----------------------
            2                          10          
La solución:
                               /    ____\
       /2    2\       ____     |x*\/ 10 |
    log|- + x |   3*\/ 10 *atan|--------|
       \5     /                \   2    /
C + ----------- + -----------------------
         5                   10          
Respuesta (Indefinida) [src]
                                                  /    ____\
  /                                      ____     |x*\/ 10 |
 |                      /       2\   3*\/ 10 *atan|--------|
 | 2*x + 3           log\2 + 5*x /                \   2    /
 | -------- dx = C + ------------- + -----------------------
 |    2                    5                    10          
 | 5*x  + 2                                                 
 |                                                          
/                                                           
$$\int \frac{2 x + 3}{5 x^{2} + 2}\, dx = C + \frac{\log{\left(5 x^{2} + 2 \right)}}{5} + \frac{3 \sqrt{10} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{10} x}{2} \right)}}{10}$$
Gráfica
Respuesta [src]
                                     /  ____\
                            ____     |\/ 10 |
                        3*\/ 10 *atan|------|
  log(2/5)   log(7/5)                \  2   /
- -------- + -------- + ---------------------
     5          5                 10         
$$\frac{\log{\left(\frac{7}{5} \right)}}{5} - \frac{\log{\left(\frac{2}{5} \right)}}{5} + \frac{3 \sqrt{10} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{10}}{2} \right)}}{10}$$
=
=
                                     /  ____\
                            ____     |\/ 10 |
                        3*\/ 10 *atan|------|
  log(2/5)   log(7/5)                \  2   /
- -------- + -------- + ---------------------
     5          5                 10         
$$\frac{\log{\left(\frac{7}{5} \right)}}{5} - \frac{\log{\left(\frac{2}{5} \right)}}{5} + \frac{3 \sqrt{10} \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{10}}{2} \right)}}{10}$$
-log(2/5)/5 + log(7/5)/5 + 3*sqrt(10)*atan(sqrt(10)/2)/10
Respuesta numérica [src]
1.20573786865117
1.20573786865117

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.