Integral de (x/7-2)^4 dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{x}{7} - 2$.

      Luego que $du = \frac{dx}{7}$ y ponemos $7 du$:

      $\int 7 u^{4}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int u^{4}\, du = 7 \int u^{4}\, du$

         1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{7 u^{5}}{5}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{7 \left(\frac{x}{7} - 2\right)^{5}}{5}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(\frac{x}{7} - 2\right)^{4} = \frac{x^{4}}{2401} - \frac{8 x^{3}}{343} + \frac{24 x^{2}}{49} - \frac{32 x}{7} + 16$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x^{4}}{2401}\, dx = \frac{\int x^{4}\, dx}{2401}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{5}}{12005}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{8 x^{3}}{343}\right)\, dx = - \frac{8 \int x^{3}\, dx}{343}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 x^{4}}{343}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{24 x^{2}}{49}\, dx = \frac{24 \int x^{2}\, dx}{49}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8 x^{3}}{49}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{32 x}{7}\right)\, dx = - \frac{32 \int x\, dx}{7}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{16 x^{2}}{7}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int 16\, dx = 16 x$

      El resultado es: $\frac{x^{5}}{12005} - \frac{2 x^{4}}{343} + \frac{8 x^{3}}{49} - \frac{16 x^{2}}{7} + 16 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{\left(x - 14\right)^{5}}{12005}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{\left(x - 14\right)^{5}}{12005}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{\left(x - 14\right)^{5}}{12005}+ \mathrm{constant}$