Integral de 4tg(2x) dx

1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

   $\int 4 \tan{\left(2 x \right)}\, dx = 4 \int \tan{\left(2 x \right)}\, dx$

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\tan{\left(2 x \right)} = \frac{\sin{\left(2 x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}$

   2. Hay varias maneras de calcular esta integral.

      Método #1

      1. que $u = \cos{\left(2 x \right)}$.

         Luego que $du = - 2 \sin{\left(2 x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{2}$:

         $\int \left(- \frac{1}{2 u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{2}$

            1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{2}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $- \frac{\log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}}{2}$

      Método #2

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\, dx = 2 \int \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}}\, dx$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{\cos{\left(2 x \right)}} = \frac{\sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}}{2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1}$

         2. que $u = 2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1$.

            Luego que $du = - 4 \sin{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $- \frac{du}{4}$:

            $\int \left(- \frac{1}{4 u}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u}\, du = - \frac{\int \frac{1}{u}\, du}{4}$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(u \right)}}{4}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $- \frac{\log{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{\log{\left(2 \cos^{2}{\left(x \right)} - 1 \right)}}{2}$

   Por lo tanto, el resultado es: $- 2 \log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $- 2 \log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- 2 \log{\left(\cos{\left(2 x \right)} \right)}+ \mathrm{constant}$