Integral de (-20*(30-5x)-(10/3)x(30-5x)+(4(30-5x)^2)/6) dx

1. Integramos término a término:

   1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \frac{4 \left(30 - 5 x\right)^{2}}{6}\, dx = \frac{\int 4 \left(30 - 5 x\right)^{2}\, dx}{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 4 \left(30 - 5 x\right)^{2}\, dx = 4 \int \left(30 - 5 x\right)^{2}\, dx$

         1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

            Método #1

            1. que $u = 30 - 5 x$.

               Luego que $du = - 5 dx$ y ponemos $- \frac{du}{5}$:

               $\int \left(- \frac{u^{2}}{5}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int u^{2}\, du = - \frac{\int u^{2}\, du}{5}$

                  1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{3}}{15}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{\left(30 - 5 x\right)^{3}}{15}$

            Método #2

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $\left(30 - 5 x\right)^{2} = 25 x^{2} - 300 x + 900$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 25 x^{2}\, dx = 25 \int x^{2}\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $\frac{25 x^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 300 x\right)\, dx = - 300 \int x\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- 150 x^{2}$

               1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                  $\int 900\, dx = 900 x$

               El resultado es: $\frac{25 x^{3}}{3} - 150 x^{2} + 900 x$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \left(30 - 5 x\right)^{3}}{15}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{2 \left(30 - 5 x\right)^{3}}{45}$

   1. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{10 x}{3} \left(30 - 5 x\right)\right)\, dx = - \int \frac{10 x \left(30 - 5 x\right)}{3}\, dx$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{10 x \left(30 - 5 x\right)}{3}\, dx = \frac{10 \int x \left(30 - 5 x\right)\, dx}{3}$

            1. Vuelva a escribir el integrando:

               $x \left(30 - 5 x\right) = - 5 x^{2} + 30 x$

            2. Integramos término a término:

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \left(- 5 x^{2}\right)\, dx = - 5 \int x^{2}\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{3}}{3}$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int 30 x\, dx = 30 \int x\, dx$

                  1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                     $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $15 x^{2}$

               El resultado es: $- \frac{5 x^{3}}{3} + 15 x^{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{50 x^{3}}{9} + 50 x^{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{50 x^{3}}{9} - 50 x^{2}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 20 \left(30 - 5 x\right)\right)\, dx = - 20 \int \left(30 - 5 x\right)\, dx$

         1. Integramos término a término:

            1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

               $\int 30\, dx = 30 x$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- 5 x\right)\, dx = - 5 \int x\, dx$

               1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

               Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{5 x^{2}}{2}$

            El resultado es: $- \frac{5 x^{2}}{2} + 30 x$

         Por lo tanto, el resultado es: $50 x^{2} - 600 x$

      El resultado es: $\frac{50 x^{3}}{9} - 600 x$

   El resultado es: $\frac{50 x^{3}}{9} - 600 x - \frac{2 \left(30 - 5 x\right)^{3}}{45}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{100 x^{3}}{9} - 100 x^{2} - 1200$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{100 x^{3}}{9} - 100 x^{2} - 1200+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{100 x^{3}}{9} - 100 x^{2} - 1200+ \mathrm{constant}$