Integral de (3*x^2+2)/((x)^(2/3)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{\frac{2}{3}}$.

      Luego que $du = \frac{2 dx}{3 \sqrt[3]{x}}$ y ponemos $\frac{du}{2}$:

      $\int \frac{9 u^{3} + 6}{2 \sqrt{u}}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{9 u^{3} + 6}{\sqrt{u}}\, du = \frac{\int \frac{9 u^{3} + 6}{\sqrt{u}}\, du}{2}$

         1. que $u = \frac{1}{\sqrt{u}}$.

            Luego que $du = - \frac{du}{2 u^{\frac{3}{2}}}$ y ponemos $- du$:

            $\int \left(- \frac{12 u^{6} + 18}{u^{8}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{12 u^{6} + 18}{u^{8}}\, du = - \int \frac{12 u^{6} + 18}{u^{8}}\, du$

               1. Vuelva a escribir el integrando:

                  $\frac{12 u^{6} + 18}{u^{8}} = \frac{12}{u^{2}} + \frac{18}{u^{8}}$

               2. Integramos término a término:

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{12}{u^{2}}\, du = 12 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12}{u}$

                  1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                     $\int \frac{18}{u^{8}}\, du = 18 \int \frac{1}{u^{8}}\, du$

                     1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                        $\int \frac{1}{u^{8}}\, du = - \frac{1}{7 u^{7}}$

                     Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{18}{7 u^{7}}$

                  El resultado es: $- \frac{12}{u} - \frac{18}{7 u^{7}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12}{u} + \frac{18}{7 u^{7}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{18 u^{\frac{7}{2}}}{7} + 12 \sqrt{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 u^{\frac{7}{2}}}{7} + 6 \sqrt{u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7} + 6 \sqrt[3]{x}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{3 x^{2} + 2}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{3 x^{2}}{x^{\frac{2}{3}}} + \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{3 x^{2}}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 3 \int \frac{x^{2}}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx$

         1. que $u = \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$.

            Luego que $du = - \frac{2 dx}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ y ponemos $- \frac{3 du}{2}$:

            $\int \left(- \frac{3}{2 u^{\frac{9}{2}}}\right)\, du$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = - \frac{3 \int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du}{2}$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{\frac{9}{2}}}\, du = - \frac{2}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{3}{7 u^{\frac{7}{2}}}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{3 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{2}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 2 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}\, dx = 3 \sqrt[3]{x}$

         Por lo tanto, el resultado es: $6 \sqrt[3]{x}$

      El resultado es: $\frac{9 x^{\frac{7}{3}}}{7} + 6 \sqrt[3]{x}$

2. Ahora simplificar:

   $\sqrt[3]{x} \left(\frac{9 x^{2}}{7} + 6\right)$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\sqrt[3]{x} \left(\frac{9 x^{2}}{7} + 6\right)+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\sqrt[3]{x} \left(\frac{9 x^{2}}{7} + 6\right)+ \mathrm{constant}$