Sr Examen

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Resolución de integrales/ x^2+2/ 3*x^2/ (3*x^2+2*x)*Lnx

Integral de (3*x^2+2*x)*Lnx dx

Límites de integración:

interior superior
v

Gráfico:

interior superior

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
  1                       
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 |  \3*x  + 2*x/*log(x) dx
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0
∫01(3x2+2x)log⁡(x) dx\int\limits_{0}^{1} \left(3 x^{2} + 2 x\right) \log{\left(x \right)}\, dx 
Integral((3*x^2 + 2*x)*log(x), (x, 0, 1))
Solución detallada

  1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

    Método #1

    1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

      Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

      ∫(3ue3u+2ue2u) du\int \left(3 u e^{3 u} + 2 u e^{2 u}\right)\, du

      1. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3ue3u du=3∫ue3u du\int 3 u e^{3 u}\, du = 3 \int u e^{3 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e3u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e3u3 du=∫e3u du3\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: e3u9\frac{e^{3 u}}{9}

          Por lo tanto, el resultado es: ue3u−e3u3u e^{3 u} - \frac{e^{3 u}}{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2ue2u du=2∫ue2u du\int 2 u e^{2 u}\, du = 2 \int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Por lo tanto, el resultado es: ue2u−e2u2u e^{2 u} - \frac{e^{2 u}}{2}

        El resultado es: ue3u+ue2u−e3u3−e2u2u e^{3 u} + u e^{2 u} - \frac{e^{3 u}}{3} - \frac{e^{2 u}}{2}

      Si ahora sustituir uu más en:

      x3log⁡(x)−x33+x2log⁡(x)−x22x^{3} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2}

    Método #2

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x2+2x)log⁡(x)=3x2log⁡(x)+2xlog⁡(x)\left(3 x^{2} + 2 x\right) \log{\left(x \right)} = 3 x^{2} \log{\left(x \right)} + 2 x \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x2log⁡(x) dx=3∫x2log⁡(x) dx\int 3 x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx = 3 \int x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue3u du\int u e^{3 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e3u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e3u3 du=∫e3u du3\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: e3u9\frac{e^{3 u}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x3log⁡(x)3−x39\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: x3log⁡(x)−x33x^{3} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xlog⁡(x) dx=2∫xlog⁡(x) dx\int 2 x \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(x)−x22x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2}

      El resultado es: x3log⁡(x)−x33+x2log⁡(x)−x22x^{3} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2}

    Método #3

    1. Usamos la integración por partes:

      ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

      que u(x)=log⁡(x)u{\left(x \right)} = \log{\left(x \right)} y que dv⁡(x)=3x2+2x\operatorname{dv}{\left(x \right)} = 3 x^{2} + 2 x.

      Entonces du⁡(x)=1x\operatorname{du}{\left(x \right)} = \frac{1}{x}.

      Para buscar v(x)v{\left(x \right)}:

      1. Vuelva a escribir el integrando:

        x(3x+2)=3x2+2xx \left(3 x + 2\right) = 3 x^{2} + 2 x

      2. Integramos término a término:

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫3x2 dx=3∫x2 dx\int 3 x^{2}\, dx = 3 \int x^{2}\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

          Por lo tanto, el resultado es: x3x^{3}

        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

          ∫2x dx=2∫x dx\int 2 x\, dx = 2 \int x\, dx

          1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

            ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

          Por lo tanto, el resultado es: x2x^{2}

        El resultado es: x3+x2x^{3} + x^{2}

      Ahora resolvemos podintegral.

    2. Vuelva a escribir el integrando:

      x3+x2x=x2+x\frac{x^{3} + x^{2}}{x} = x^{2} + x

    3. Integramos término a término:

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x2 dx=x33\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}

      1. Integral xnx^{n} es xn+1n+1\frac{x^{n + 1}}{n + 1} when n≠−1n \neq -1:

        ∫x dx=x22\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}

      El resultado es: x33+x22\frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{2}}{2}

    Método #4

    1. Vuelva a escribir el integrando:

      (3x2+2x)log⁡(x)=3x2log⁡(x)+2xlog⁡(x)\left(3 x^{2} + 2 x\right) \log{\left(x \right)} = 3 x^{2} \log{\left(x \right)} + 2 x \log{\left(x \right)}

    2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫3x2log⁡(x) dx=3∫x2log⁡(x) dx\int 3 x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx = 3 \int x^{2} \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue3u du\int u e^{3 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e3u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{3 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e3u3 du=∫e3u du3\int \frac{e^{3 u}}{3}\, du = \frac{\int e^{3 u}\, du}{3}

            1. que u=3uu = 3 u.

              Luego que du=3dudu = 3 du y ponemos du3\frac{du}{3}:

              ∫eu3 du\int \frac{e^{u}}{3}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu3\frac{e^{u}}{3}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e3u3\frac{e^{3 u}}{3}

            Por lo tanto, el resultado es: e3u9\frac{e^{3 u}}{9}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x3log⁡(x)3−x39\frac{x^{3} \log{\left(x \right)}}{3} - \frac{x^{3}}{9}

        Por lo tanto, el resultado es: x3log⁡(x)−x33x^{3} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{3}}{3}

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

        ∫2xlog⁡(x) dx=2∫xlog⁡(x) dx\int 2 x \log{\left(x \right)}\, dx = 2 \int x \log{\left(x \right)}\, dx

        1. que u=log⁡(x)u = \log{\left(x \right)}.

          Luego que du=dxxdu = \frac{dx}{x} y ponemos dudu:

          ∫ue2u du\int u e^{2 u}\, du

          1. Usamos la integración por partes:

            ∫u⁡dv⁡=u⁡v⁡−∫v⁡du⁡\int \operatorname{u} \operatorname{dv} = \operatorname{u}\operatorname{v} - \int \operatorname{v} \operatorname{du}

            que u(u)=uu{\left(u \right)} = u y que dv⁡(u)=e2u\operatorname{dv}{\left(u \right)} = e^{2 u}.

            Entonces du⁡(u)=1\operatorname{du}{\left(u \right)} = 1.

            Para buscar v(u)v{\left(u \right)}:

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Ahora resolvemos podintegral.

          2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            ∫e2u2 du=∫e2u du2\int \frac{e^{2 u}}{2}\, du = \frac{\int e^{2 u}\, du}{2}

            1. que u=2uu = 2 u.

              Luego que du=2dudu = 2 du y ponemos du2\frac{du}{2}:

              ∫eu2 du\int \frac{e^{u}}{2}\, du

              1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                False\text{False}

                1. La integral de la función exponencial es la mesma.

                  ∫eu du=eu\int e^{u}\, du = e^{u}

                Por lo tanto, el resultado es: eu2\frac{e^{u}}{2}

              Si ahora sustituir uu más en:

              e2u2\frac{e^{2 u}}{2}

            Por lo tanto, el resultado es: e2u4\frac{e^{2 u}}{4}

          Si ahora sustituir uu más en:

          x2log⁡(x)2−x24\frac{x^{2} \log{\left(x \right)}}{2} - \frac{x^{2}}{4}

        Por lo tanto, el resultado es: x2log⁡(x)−x22x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2}

      El resultado es: x3log⁡(x)−x33+x2log⁡(x)−x22x^{3} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2}

  2. Ahora simplificar:

    x2(xlog⁡(x)−x3+log⁡(x)−12)x^{2} \left(x \log{\left(x \right)} - \frac{x}{3} + \log{\left(x \right)} - \frac{1}{2}\right)

  3. Añadimos la constante de integración:

    x2(xlog⁡(x)−x3+log⁡(x)−12)+constantx^{2} \left(x \log{\left(x \right)} - \frac{x}{3} + \log{\left(x \right)} - \frac{1}{2}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta:

x2(xlog⁡(x)−x3+log⁡(x)−12)+constantx^{2} \left(x \log{\left(x \right)} - \frac{x}{3} + \log{\left(x \right)} - \frac{1}{2}\right)+ \mathrm{constant}

Respuesta (Indefinida) [src] 
  /                                                            
 |                               2    3                        
 | /   2      \                 x    x     2           3       
 | \3*x  + 2*x/*log(x) dx = C - -- - -- + x *log(x) + x *log(x)
 |                              2    3                         
/
∫(3x2+2x)log⁡(x) dx=C+x3log⁡(x)−x33+x2log⁡(x)−x22\int \left(3 x^{2} + 2 x\right) \log{\left(x \right)}\, dx = C + x^{3} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{3}}{3} + x^{2} \log{\left(x \right)} - \frac{x^{2}}{2}
Simplificar
Gráfica
0.001.000.100.200.300.400.500.600.700.800.901-2
Trazar el gráfico f(x)
Respuesta [src] 
-5/6
−56- \frac{5}{6} 
=
= 
-5/6
−56- \frac{5}{6} 
-5/6
Respuesta numérica [src] 
-0.833333333333333
-0.833333333333333

    Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.

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