Integral de x/2(1-x^2) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = x^{2}$.

      Luego que $du = 2 x dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(\frac{1}{4} - \frac{u}{4}\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int \frac{1}{4}\, du = \frac{u}{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \left(- \frac{u}{4}\right)\, du = - \frac{\int u\, du}{4}$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{u^{2}}{8}$

         El resultado es: $- \frac{u^{2}}{8} + \frac{u}{4}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{2}}{4}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{x}{2} \left(1 - x^{2}\right) = - \frac{x^{3}}{2} + \frac{x}{2}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- \frac{x^{3}}{2}\right)\, dx = - \frac{\int x^{3}\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{x^{4}}{8}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{x}{2}\, dx = \frac{\int x\, dx}{2}$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{x^{2}}{4}$

      El resultado es: $- \frac{x^{4}}{8} + \frac{x^{2}}{4}$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{x^{2} \left(2 - x^{2}\right)}{8}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{x^{2} \left(2 - x^{2}\right)}{8}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{x^{2} \left(2 - x^{2}\right)}{8}+ \mathrm{constant}$