Sr Examen
Integral de (2x+2)/(x^2-3x+3) dx
Solución
Ha introducido
[src]
1 / | | 2*x + 2 | ------------ dx | 2 | x - 3*x + 3 | / 0
$$\int\limits_{0}^{1} \frac{2 x + 2}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3}\, dx$$
Integral((2*x + 2)/(x^2 - 3*x + 3), (x, 0, 1))
Solución detallada
Tenemos el integral:
/ | | 2*x + 2 | ------------ dx | 2 | x - 3*x + 3 | /
Reescribimos la función subintegral
/ 5 \
|---|
2*x + 2 2*x - 3 \3/4/
------------ = ------------ + -------------------------
2 2 2
x - 3*x + 3 x - 3*x + 3 / ___ \
|-2*\/ 3 ___|
|--------*x + \/ 3 | + 1
\ 3 / o
/ | | 2*x + 2 | ------------ dx | 2 = | x - 3*x + 3 | /
/
|
| 1
20* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ \
| |-2*\/ 3 ___|
| |--------*x + \/ 3 | + 1
| \ 3 / /
| |
/ | 2*x - 3
---------------------------------- + | ------------ dx
3 | 2
| x - 3*x + 3
|
/ En integral
/ | | 2*x - 3 | ------------ dx | 2 | x - 3*x + 3 | /
hacemos el cambio
2 u = x - 3*x
entonces
integral =
/ | | 1 | ----- du = log(3 + u) | 3 + u | /
hacemos cambio inverso
/ | | 2*x - 3 / 2 \ | ------------ dx = log\3 + x - 3*x/ | 2 | x - 3*x + 3 | /
En integral
/
|
| 1
20* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ \
| |-2*\/ 3 ___|
| |--------*x + \/ 3 | + 1
| \ 3 /
|
/
----------------------------------
3 hacemos el cambio
___
___ 2*x*\/ 3
v = \/ 3 - ---------
3 entonces
integral =
/
|
| 1
20* | ------ dv
| 2
| 1 + v
|
/ 20*atan(v)
--------------- = ----------
3 3 hacemos cambio inverso
/
|
| 1
20* | ------------------------- dx
| 2
| / ___ \
| |-2*\/ 3 ___|
| |--------*x + \/ 3 | + 1 / ___\
| \ 3 / ___ | ___ 2*x*\/ 3 |
| 10*\/ 3 *atan|- \/ 3 + ---------|
/ \ 3 /
---------------------------------- = ----------------------------------
3 3 La solución:
/ ___\
___ | ___ 2*x*\/ 3 |
10*\/ 3 *atan|- \/ 3 + ---------|
\ 3 / / 2 \
C + ---------------------------------- + log\3 + x - 3*x/
3
Respuesta (Indefinida)
[src]
/ ___ \ / ___ |2*\/ 3 *(-3/2 + x)| | 10*\/ 3 *atan|------------------| | 2*x + 2 \ 3 / / 2 \ | ------------ dx = C + --------------------------------- + log\3 + x - 3*x/ | 2 3 | x - 3*x + 3 | /
$$\int \frac{2 x + 2}{\left(x^{2} - 3 x\right) + 3}\, dx = C + \log{\left(x^{2} - 3 x + 3 \right)} + \frac{10 \sqrt{3} \operatorname{atan}{\left(\frac{2 \sqrt{3} \left(x - \frac{3}{2}\right)}{3} \right)}}{3}$$
Gráfica
Respuesta
[src]
___
5*pi*\/ 3
-log(3) + ----------
9
$$- \log{\left(3 \right)} + \frac{5 \sqrt{3} \pi}{9}$$
=
=
___
5*pi*\/ 3
-log(3) + ----------
9
$$- \log{\left(3 \right)} + \frac{5 \sqrt{3} \pi}{9}$$
-log(3) + 5*pi*sqrt(3)/9
Estos ejemplos se pueden aplicar para introducción de los límites de integración inferior y superior.