Integral de ((x^(-3/4))-5)/(x^(1/4)) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}$.

      Luego que $du = - \frac{3 dx}{4 x^{\frac{7}{4}}}$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

      $\int \left(- \frac{4 u - 20}{3 u^{2}}\right)\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \frac{4 u - 20}{u^{2}}\, du = - \frac{\int \frac{4 u - 20}{u^{2}}\, du}{3}$

         1. Vuelva a escribir el integrando:

            $\frac{4 u - 20}{u^{2}} = \frac{4}{u} - \frac{20}{u^{2}}$

         2. Integramos término a término:

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \frac{4}{u}\, du = 4 \int \frac{1}{u}\, du$

               1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

               Por lo tanto, el resultado es: $4 \log{\left(u \right)}$

            1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

               $\int \left(- \frac{20}{u^{2}}\right)\, du = - 20 \int \frac{1}{u^{2}}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int \frac{1}{u^{2}}\, du = - \frac{1}{u}$

               Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20}{u}$

            El resultado es: $4 \log{\left(u \right)} + \frac{20}{u}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 \log{\left(u \right)}}{3} - \frac{20}{3 u}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{20 x^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4 \log{\left(\frac{1}{x^{\frac{3}{4}}} \right)}}{3}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\frac{-5 + \frac{1}{x^{\frac{3}{4}}}}{\sqrt[4]{x}} = - \frac{5 x^{\frac{3}{4}} - 1}{x}$

   2. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

      $\int \left(- \frac{5 x^{\frac{3}{4}} - 1}{x}\right)\, dx = - \int \frac{5 x^{\frac{3}{4}} - 1}{x}\, dx$

      1. que $u = \frac{1}{x}$.

         Luego que $du = - \frac{dx}{x^{2}}$ y ponemos $- du$:

         $\int \left(- \frac{5 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}} - 1}{u}\right)\, du$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int \frac{5 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}} - 1}{u}\, du = - \int \frac{5 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}} - 1}{u}\, du$

            1. que $u = 5 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}}$.

               Luego que $du = - \frac{15 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}} du}{4 u}$ y ponemos $- \frac{du}{3}$:

               $\int \left(- \frac{4 u - 4}{3 u}\right)\, du$

               1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                  $\int \frac{4 u - 4}{u}\, du = - \frac{\int \frac{4 u - 4}{u}\, du}{3}$

                  1. que $u = 4 u$.

                     Luego que $du = 4 du$ y ponemos $du$:

                     $\int \frac{u - 4}{u}\, du$

                     1. Vuelva a escribir el integrando:

                        $\frac{u - 4}{u} = 1 - \frac{4}{u}$

                     2. Integramos término a término:

                        1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

                           $\int 1\, du = u$

                        1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

                           $\int \left(- \frac{4}{u}\right)\, du = - 4 \int \frac{1}{u}\, du$

                           1. Integral $\frac{1}{u}$ es $\log{\left(u \right)}$.

                           Por lo tanto, el resultado es: $- 4 \log{\left(u \right)}$

                        El resultado es: $u - 4 \log{\left(u \right)}$

                     Si ahora sustituir $u$ más en:

                     $4 u - 4 \log{\left(4 u \right)}$

                  Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{4 u}{3} + \frac{4 \log{\left(4 u \right)}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $- \frac{20 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}}}{3} + \frac{4 \log{\left(20 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{20 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4 \log{\left(20 \left(\frac{1}{u}\right)^{\frac{3}{4}} \right)}}{3}$

         Si ahora sustituir $u$ más en:

         $\frac{20 x^{\frac{3}{4}}}{3} - \frac{4 \log{\left(20 x^{\frac{3}{4}} \right)}}{3}$

      Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{20 x^{\frac{3}{4}}}{3} + \frac{4 \log{\left(20 x^{\frac{3}{4}} \right)}}{3}$

2. Ahora simplificar:

   $- \frac{20 x^{\frac{3}{4}}}{3} + \log{\left(x \right)}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $- \frac{20 x^{\frac{3}{4}}}{3} + \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$- \frac{20 x^{\frac{3}{4}}}{3} + \log{\left(x \right)}+ \mathrm{constant}$