Integral de sin10xsin5xdx dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = 5 x$.

      Luego que $du = 5 dx$ y ponemos $\frac{du}{5}$:

      $\int \frac{\sin{\left(u \right)} \sin{\left(2 u \right)}}{5}\, du$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \sin{\left(2 u \right)} \sin{\left(u \right)}\, du = \frac{\int \sin{\left(2 u \right)} \sin{\left(u \right)}\, du}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 2 \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du = 2 \int \sin^{2}{\left(u \right)} \cos{\left(u \right)}\, du$

            1. que $u = \sin{\left(u \right)}$.

               Luego que $du = \cos{\left(u \right)} du$ y ponemos $du$:

               $\int u^{2}\, du$

               1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

                  $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

               Si ahora sustituir $u$ más en:

               $\frac{\sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{2 \sin^{3}{\left(u \right)}}{15}$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $\frac{2 \sin^{3}{\left(5 x \right)}}{15}$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\sin{\left(5 x \right)} \sin{\left(10 x \right)} = 8192 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 26624 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 33792 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 21120 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 6720 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} - 1000 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)} + 50 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 8192 \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 8192 \int \sin^{14}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{14}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{14}\, du = \frac{u^{15}}{15}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{15}{\left(x \right)}}{15}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{8192 \sin^{15}{\left(x \right)}}{15}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 26624 \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 26624 \int \sin^{12}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{12}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{12}\, du = \frac{u^{13}}{13}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{13}{\left(x \right)}}{13}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 2048 \sin^{13}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 33792 \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 33792 \int \sin^{10}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{10}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{10}\, du = \frac{u^{11}}{11}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{11}{\left(x \right)}}{11}$

         Por lo tanto, el resultado es: $3072 \sin^{11}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 21120 \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 21120 \int \sin^{8}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{8}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{8}\, du = \frac{u^{9}}{9}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{9}{\left(x \right)}}{9}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{7040 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 6720 \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 6720 \int \sin^{6}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{7}{\left(x \right)}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $960 \sin^{7}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1000 \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\right)\, dx = - 1000 \int \sin^{4}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{5}{\left(x \right)}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 200 \sin^{5}{\left(x \right)}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 50 \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx = 50 \int \sin^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(x \right)}\, dx$

         1. que $u = \sin{\left(x \right)}$.

            Luego que $du = \cos{\left(x \right)} dx$ y ponemos $du$:

            $\int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Si ahora sustituir $u$ más en:

            $\frac{\sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $\frac{50 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

      El resultado es: $\frac{8192 \sin^{15}{\left(x \right)}}{15} - 2048 \sin^{13}{\left(x \right)} + 3072 \sin^{11}{\left(x \right)} - \frac{7040 \sin^{9}{\left(x \right)}}{3} + 960 \sin^{7}{\left(x \right)} - 200 \sin^{5}{\left(x \right)} + \frac{50 \sin^{3}{\left(x \right)}}{3}$

2. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{2 \sin^{3}{\left(5 x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{2 \sin^{3}{\left(5 x \right)}}{15}+ \mathrm{constant}$