Integral de (x-1)(x-1)(x-1)(5-x)(12x^2-48x+36) dx

1. Hay varias maneras de calcular esta integral.

   Método #1

   1. que $u = - x$.

      Luego que $du = - dx$ y ponemos $du$:

      $\int \left(12 u^{6} + 144 u^{5} + 636 u^{4} + 1344 u^{3} + 1476 u^{2} + 816 u + 180\right)\, du$

      1. Integramos término a término:

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 12 u^{6}\, du = 12 \int u^{6}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{6}\, du = \frac{u^{7}}{7}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{12 u^{7}}{7}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 144 u^{5}\, du = 144 \int u^{5}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{5}\, du = \frac{u^{6}}{6}$

            Por lo tanto, el resultado es: $24 u^{6}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 636 u^{4}\, du = 636 \int u^{4}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{4}\, du = \frac{u^{5}}{5}$

            Por lo tanto, el resultado es: $\frac{636 u^{5}}{5}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 1344 u^{3}\, du = 1344 \int u^{3}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{3}\, du = \frac{u^{4}}{4}$

            Por lo tanto, el resultado es: $336 u^{4}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 1476 u^{2}\, du = 1476 \int u^{2}\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u^{2}\, du = \frac{u^{3}}{3}$

            Por lo tanto, el resultado es: $492 u^{3}$

         1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

            $\int 816 u\, du = 816 \int u\, du$

            1. Integral $u^{n}$ es $\frac{u^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

               $\int u\, du = \frac{u^{2}}{2}$

            Por lo tanto, el resultado es: $408 u^{2}$

         1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

            $\int 180\, du = 180 u$

         El resultado es: $\frac{12 u^{7}}{7} + 24 u^{6} + \frac{636 u^{5}}{5} + 336 u^{4} + 492 u^{3} + 408 u^{2} + 180 u$

      Si ahora sustituir $u$ más en:

      $- \frac{12 x^{7}}{7} + 24 x^{6} - \frac{636 x^{5}}{5} + 336 x^{4} - 492 x^{3} + 408 x^{2} - 180 x$

   Método #2

   1. Vuelva a escribir el integrando:

      $\left(x - 1\right) \left(x - 1\right) \left(x - 1\right) \left(5 - x\right) \left(\left(12 x^{2} - 48 x\right) + 36\right) = - 12 x^{6} + 144 x^{5} - 636 x^{4} + 1344 x^{3} - 1476 x^{2} + 816 x - 180$

   2. Integramos término a término:

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 12 x^{6}\right)\, dx = - 12 \int x^{6}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{6}\, dx = \frac{x^{7}}{7}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{12 x^{7}}{7}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 144 x^{5}\, dx = 144 \int x^{5}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{5}\, dx = \frac{x^{6}}{6}$

         Por lo tanto, el resultado es: $24 x^{6}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 636 x^{4}\right)\, dx = - 636 \int x^{4}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{4}\, dx = \frac{x^{5}}{5}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- \frac{636 x^{5}}{5}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 1344 x^{3}\, dx = 1344 \int x^{3}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{3}\, dx = \frac{x^{4}}{4}$

         Por lo tanto, el resultado es: $336 x^{4}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int \left(- 1476 x^{2}\right)\, dx = - 1476 \int x^{2}\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x^{2}\, dx = \frac{x^{3}}{3}$

         Por lo tanto, el resultado es: $- 492 x^{3}$

      1. La integral del producto de una función por una constante es la constante por la integral de esta función:

         $\int 816 x\, dx = 816 \int x\, dx$

         1. Integral $x^{n}$ es $\frac{x^{n + 1}}{n + 1}$ when $n \neq -1$:

            $\int x\, dx = \frac{x^{2}}{2}$

         Por lo tanto, el resultado es: $408 x^{2}$

      1. La integral de las constantes tienen esta constante multiplicada por la variable de integración:

         $\int \left(-180\right)\, dx = - 180 x$

      El resultado es: $- \frac{12 x^{7}}{7} + 24 x^{6} - \frac{636 x^{5}}{5} + 336 x^{4} - 492 x^{3} + 408 x^{2} - 180 x$

2. Ahora simplificar:

   $\frac{12 x \left(- 5 x^{6} + 70 x^{5} - 371 x^{4} + 980 x^{3} - 1435 x^{2} + 1190 x - 525\right)}{35}$

3. Añadimos la constante de integración:

   $\frac{12 x \left(- 5 x^{6} + 70 x^{5} - 371 x^{4} + 980 x^{3} - 1435 x^{2} + 1190 x - 525\right)}{35}+ \mathrm{constant}$

Respuesta:

$\frac{12 x \left(- 5 x^{6} + 70 x^{5} - 371 x^{4} + 980 x^{3} - 1435 x^{2} + 1190 x - 525\right)}{35}+ \mathrm{constant}$